Autor Tema: Base de Schauder para c_0

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16 Octubre, 2019, 05:01 am
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Steven_Math

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Buenas noches, he tenido dificultad en resolver estos tres problemas los cuales son preparatorios para un examen, les agradecería mucho su ayuda:

1) Recuerde que \( c_0=\{(x_k)\subset \mathbb{C} | \lim_{k \to \infty}{x_k}=0 \} \). Considere \( c_0 \) como un subespacio normado de \( \ell^\infty \). Mostrar que \( (e_k) \) es una base de Shauder para \( c_0 \).

2) Sea \( (X,|| \ ||) \) un espacio normado. Sea \( \rho>1 \). Suponga que \( (x_k\subset X) \) converge a algún \( z\in X \) con \( ||z||\leq \rho \). Mostrar que

                                            \( \displaystyle\lim_{k \to \infty}{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{ \displaystyle\frac{1}
                                              {||x_k||^{2n}+1}}}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{ \displaystyle\frac{1}{||z||^{2n}+1}} \) .

 3) Para cada espacio de Banach \( (X,|| \ ||) \) distinto de cero, mostrar que existe \( (u_k)\subset X \) tal que \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty{u_k} \) converja en \( (X,|| \ ||) \) pero \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty{||u_k||}=\infty \).

16 Octubre, 2019, 12:45 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Buenas noches, he tenido dificultad en resolver estos tres problemas los cuales son preparatorios para un examen, les agradecería mucho su ayuda:

1) Recuerde que \( c_0=\{(x_k)\subset \mathbb{C} | \lim_{k \to \infty}{x_k}=0 \} \). Considere \( c_0 \) como un subespacio normado de \( \ell^\infty \). Mostrar que \( (e_k) \) es una base de Shauder para \( c_0 \).

¿No es muy inmediato? Dado \( (x_n)\in c_0 \) prueba que:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty{}x_k(e_k)=(x_n) \)

Basta tener en cuenta que:

\( \left \|\displaystyle\sum_{k=1}^tx_k(e_k)-(x_n)\right\|_\infty=sup\{\|x_k\||k>t\} \)

como la sucesión \( x_n\to 0 \) entonces ese supremo converge a cero.

Para la unicidad basta probar que si:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty x_k(e_k)=0 \) entonces cada \( x_k=0 \)

Basta tener en cuenta que si algún \( x_{k_0}\neq 0 \) entonces para\(  t>k_0 \):

\( \left \|\displaystyle\sum_{k=1}^tx_k(e_k)\right\|_\infty\geq \|x_{k_0}\| \)

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2) Sea \( (X,|| \ ||) \) un espacio normado. Sea \( \rho>1 \). Suponga que \( (x_k\subset X) \) converge a algún \( z\in X \) con \( ||z||\leq \rho \). Mostrar que

                                            \( \displaystyle\lim_{k \to \infty}{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{ \displaystyle\frac{1}
                                              {||x_k||^{2n}+1}}}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{ \displaystyle\frac{1}{||z||^{2n}+1}} \) .

Intenta probar que la serie:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{1}{x^n+1} \)

define una función continua. Luego compón con la norma y utiliza que las funciones continuas son secuencialmente continuas.

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3) Para cada espacio de Banach \( (X,|| \ ||) \) distinto de cero, mostrar que existe \( (u_k)\subset X \) tal que \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty{u_k} \) converja en \( (X,|| \ ||) \) pero \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty{||u_k||}=\infty \).

Dado \( x\in X \) no nulo toma:

\( u_n=\dfrac{(-1)^n}{n}\cdot x \).

Saludos.

18 Octubre, 2019, 09:33 pm
Respuesta #2

Steven_Math

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2) Sea \( (X,|| \ ||) \) un espacio normado. Sea \( \rho>1 \). Suponga que \( (x_k\subset X) \) converge a algún \( z\in X \) con \( ||z||\leq \rho \). Mostrar que

                                            \( \displaystyle\lim_{k \to \infty}{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{ \displaystyle\frac{1}
                                              {||x_k||^{2n}+1}}}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{ \displaystyle\frac{1}{||z||^{2n}+1}} \) .
Intenta probar que la serie:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{1}{x^n+1} \)

define una función continua. Luego compón con la norma y utiliza que las funciones continuas son secuencialmente continuas.

 
Luis Fuentes no entendí bien lo que me quieres decir. yo traté de hacerlo utilizando la definición de límite. con un \( \epsilon>0 \) dado pero no he podido concluir.
 

20 Octubre, 2019, 05:19 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Luis Fuentes no entendí bien lo que me quieres decir. yo traté de hacerlo utilizando la definición de límite. con un \( \epsilon>0 \) dado pero no he podido concluir.

Lo que dijo es lo siguiente. Considera la función:

\( f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{1}{x^n+1} \)

y supón que es continua. Ahora la composición:

\( g:X\to \mathbb{R},\quad g(x)=f(\|x\|) \)

continua por ser composición de continuas (la norma lo es). Entonces es secuencialmente continua y:

\( x_k\to z \) implica \( g(x_k)\to g(z) \)

Para la continuidad de \( f \): en primer lugar sospecho que tienes una errata en el enunciado y debería de ser \( \|z\|\geq \rho>1 \) ya que fíjate que si \( \|z\|<1 \) entonces la serie:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{1}{\|z\|^{2n}+1} \)

no converge (basta comparar con la serie tipo armónica \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty1/(z^2)^n \).).

Ahora con la hipótesis que digo para \( k \) suficientemente alto \( \|x_k\|>\alpha>1 \) y entonces:

\( \dfrac{1}{\|x_k\|^{2n}+1}\leq \dfrac{1}{(\alpha)^2+1} \)

Dado que la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{1}{(\alpha)^2+1} \) es convergente, por el criterio mayorante de Weierstrass la serie funcional que define \( f \) converge uniformemente a una función continua.

Saludos.

30 Octubre, 2019, 05:32 pm
Respuesta #4

Steven_Math

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Así es Luis Fuentes, cometí ese error al escribir es ejercicio, \( |z|  \) tiene que ser mayor o igual que \( \rho \).  Muchas gracias.