Autor Tema: abab igual a cuadrado perfecto más 1

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

15 Octubre, 2019, 06:47 pm
Leído 569 veces

Mario González

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 6
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
¿Qué número de cuatro cifras de la forma abab (por ejemplo, 5252 o 7373) verifica que es igual a un cuadrado más 1? Solo hay uno, 8282 = 91^2+1, ¿como se puede demostar?

15 Octubre, 2019, 08:26 pm
Respuesta #1

martiniano

  • Héroe
  • Mensajes: 1,219
  • País: es
  • Karma: +2/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.

La ecuación diofántica que quieres resolver es:

\( 1010a+101b=c^2+1 \) o bien \( 101(10a+b)=c^2+1 \) de donde \( c^2+1\equiv{0}(mod 101) \) o bien \( c^2\equiv{100}(mod 101) \)

Como \( 101  \) es primo que no divide a los coeficientes de la ecuación, se tiene por el teorema de Lagrange que esta ecuación tiene dos únicas soluciones, \( c=\pm{10} \) La única que conduce a una solución con sentido en el contexto del problema es \( c=-10\equiv{}91 \mod 101 \)

Espero que te sirva. Un saludo.

15 Octubre, 2019, 10:15 pm
Respuesta #2

Mario González

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 6
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Muchas gracias, la demostración es correctísima pero esperaba algo más fácil de entender para alguien que no haya trabajado con congruencias. Un saludo!

16 Octubre, 2019, 07:24 am
Respuesta #3

martiniano

  • Héroe
  • Mensajes: 1,219
  • País: es
  • Karma: +2/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.

Muchas gracias, la demostración es correctísima pero esperaba algo más fácil de entender para alguien que no haya trabajado con congruencias. Un saludo!

Vale, seguramente se pueda conseguir una pruba que no utilice esos conceptos. Personalmente, pienso que lo de las congruencias se puede evitar, ya que simplemente aligeran un poco la escritura. Lo  que veo más difícil de eludir es el teorema de Lagrange, que supongo que tampoco se habrá trabajado con él, ¿verdad?
Saludos.

16 Octubre, 2019, 07:58 am
Respuesta #4

manooooh

  • Matemático
  • Mensajes: 2,967
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola martiniano, cuánto tiempo

¿Podrías explicar cómo deducís esto?:

(...) o bien \( 101(10a+b)=c^2+1 \) de donde \( c^2+1\equiv{0}(mod 101) \) (...)

Entiendo que \( 101\equiv0\pmod{101} \), pero no veo por qué decís que todo es equivalente a módulo \( 101 \). ¿No podría haber sido módulo \( 37 \) por ejemplo?

Gracias.

Saludos

16 Octubre, 2019, 08:04 am
Respuesta #5

martiniano

  • Héroe
  • Mensajes: 1,219
  • País: es
  • Karma: +2/-0
  • Sexo: Masculino
Hola manooooh. Encantado de encontrarnos de nuevo.

\( a\equiv{0}\mod101 \) sólo quiere decir que \( a \) es múltiplo de \( 101 \). ¿Respondo así a tu duda?

Un saludo.

16 Octubre, 2019, 08:22 am
Respuesta #6

manooooh

  • Matemático
  • Mensajes: 2,967
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

\( a\equiv{0}\mod101 \) sólo quiere decir que \( a \) es múltiplo de \( 101 \). ¿Respondo así a tu duda?

Sí, ¡gracias!

Saludos