Autor Tema: Teorema de Bolzano-Weierstrass

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09 Octubre, 2019, 09:05 pm
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Maria-J

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Hola !!

Estoy buscando algún ejemplo de un espacio métrico en el cual NO se cumpla el teorema de Bolzano-Weierstrass ( un espacio métrico (X, d)
es compacto si y solo si cada subconjunto infinito de X tiene un punto de acumulación (en X)).

Gracias.

09 Octubre, 2019, 10:07 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Bienvenida al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Estoy buscando algún ejemplo de un espacio métrico en el cual NO se cumpla el teorema de Bolzano-Weierstrass ( un espacio métrico (X, d)
es compacto si y solo si cada subconjunto infinito de X tiene un punto de acumulación (en X)).

 No estoy seguro de entenderte. En todo espacio métrico es cierto que compacto equivale a secuencialmente compacto (es decir a que todo conjunto infinito tenga un punto de acumulación).

 Lo que no es cierto en todo espacio métrico es que todo subconjunto cerrado y acotado sea compacto.

 Por ejemplo en los racionales con la métrica usual, no todo conjunto cerrado y acotado es compacto.

Saludos.

09 Octubre, 2019, 11:24 pm
Respuesta #2

Maria-J

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Dale, muchas gracias por la información.
Hola

 Bienvenida al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Estoy buscando algún ejemplo de un espacio métrico en el cual NO se cumpla el teorema de Bolzano-Weierstrass ( un espacio métrico (X, d)
es compacto si y solo si cada subconjunto infinito de X tiene un punto de acumulación (en X)).

 No estoy seguro de entenderte. En todo espacio métrico es cierto que compacto equivale a secuencialmente compacto (es decir a que todo conjunto infinito tenga un punto de acumulación).

 Lo que no es cierto en todo espacio métrico es que todo subconjunto cerrado y acotado sea compacto.

 Por ejemplo en los racionales con la métrica usual, no todo conjunto cerrado y acotado es compacto.

Saludos.

Dale, muchas gracias por la info.

Sin embargo otra pregunta, cual es el subconjunto no compacto en los racionales?

10 Octubre, 2019, 08:22 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Dale, muchas gracias por la info.

Sin embargo otra pregunta, cual es el subconjunto no compacto en los racionales?

Por ejemplo el intervalo \( [0,1]\cap \mathbb{Q} \) es cerrado y acotado en los racionales pero no es compacto.

Saludos.

10 Octubre, 2019, 11:55 pm
Respuesta #4

Maria-J

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