Autor Tema: Demostración de giros de un vector

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06 Octubre, 2019, 09:45 pm
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mss

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Buenas tardes.

Escribo porque se me presenta la siguiente demostración: sea un vector v en \( R^3 \), hay que probar que con a lo más dos giros en los ejes coordenados puedo llevar dicho vector v a cualquiera de los ejes.

El problema que tengo es que creo saber cómo demostrarlo, pero no sé cómo expresarlo con lenguaje matemático.

Diría que si tenemos un vector en el plano yz, y queremos colocarlo en el plano xy, el primer giro lo haría para colocarlo en el xz, y el segundo de forma que quedase en el plano que queremos (xy). Por tanto con tan solo dos giros lo hemos logrado. ¿Sería correcto entonces? Y de serlo, cómo podría expresarlo en lenguaje matemático?

Muchas gracias por adelantado :)

07 Octubre, 2019, 11:10 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Escribo porque se me presenta la siguiente demostración: sea un vector v en \( R^3 \), hay que probar que con a lo más dos giros en los ejes coordenados puedo llevar dicho vector v a cualquiera de los ejes.

El problema que tengo es que creo saber cómo demostrarlo, pero no sé cómo expresarlo con lenguaje matemático.

Diría que si tenemos un vector en el plano yz, y queremos colocarlo en el plano xy, el primer giro lo haría para colocarlo en el xz, y el segundo de forma que quedase en el plano que queremos (xy). Por tanto con tan solo dos giros lo hemos logrado. ¿Sería correcto entonces? Y de serlo, cómo podría expresarlo en lenguaje matemático?

Lo que no se es porque partes de suponer que está en el plano \( YZ \). Podría no estar en ningún plano.

Te detallo el argumento para llevarlo al eje \( X \).

1) Si el vector \( v \) está en el plano \( XY \), es de la forma \( v=(a,b,0) \).

Basta entonces aplicarle un giro sobre el eje \( Z \) que lo lleve sobre el eje \( X \). Si \( b=0 \) ya lo tienes; en otro caso, el vector girado es de la forma:

\( (a\,cos(\alpha)-b\,sin(\alpha),a\,sin(\alpha)+b\,cos(\alpha),0) \)

Basta tomar \( \alpha \) tal que \( f(\alpha)=a\,sin(\alpha)+b\,cos(\alpha)=0 \). Puede hacerse porque \( f(\pi)f(0)<0 \) y la función es continua (también puede darse un argumento geométrico).

2) Si el vector \( v \) no está en en en plano \( XY \) es de la forma \( v=(a,b,c) \) con \( c\neq 0 \) entonces le aplicamos un giro sobre el eje \( X \) para llevarlo al plano \( XY. \) El vector girado es de la forma:

\( (a,b\,cos(\alpha)-c\,\sin(\alpha),b\,sin(\alpha)+c\,cos(\alpha)) \)

y escogemos el ángulo de manera que \( b\,sin(\alpha)+\color{red}c\color{black}\,cos(\alpha)=0 \).

Una vez que el vector está en en plano \( XY \) volvemos al paso (1).

Saludos.

CORREGIDO

07 Octubre, 2019, 04:04 pm
Respuesta #2

mss

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Hola

Escribo porque se me presenta la siguiente demostración: sea un vector v en \( R^3 \), hay que probar que con a lo más dos giros en los ejes coordenados puedo llevar dicho vector v a cualquiera de los ejes.

El problema que tengo es que creo saber cómo demostrarlo, pero no sé cómo expresarlo con lenguaje matemático.

Diría que si tenemos un vector en el plano yz, y queremos colocarlo en el plano xy, el primer giro lo haría para colocarlo en el xz, y el segundo de forma que quedase en el plano que queremos (xy). Por tanto con tan solo dos giros lo hemos logrado. ¿Sería correcto entonces? Y de serlo, cómo podría expresarlo en lenguaje matemático?

Lo que no se es porque partes de suponer que está en el plano \( YZ \). Podría no estar en ningún plano.

Te detallo el argumento para llevarlo al eje \( X \).

1) Si el vector \( v \) está en el plano \( XY \), es de la forma \( v=(a,b,0) \).

Basta entonces aplicarle un giro sobre el eje \( Z \) que lo lleve sobre el eje \( X \). Si \( b=0 \) ya lo tienes; en otro caso, el vector girado es de la forma:

\( (a\,cos(\alpha)-b\,sin(\alpha),a\,sin(\alpha)+b\,cos(\alpha),0) \)

Basta tomar \( \alpha \) tal que \( f(\alpha)=a\,sin(\alpha)+b\,cos(\alpha)=0 \). Puede hacerse porque \( f(\pi)f(0)<0 \) y la función es continua (también puede darse un argumento geométrico).

2) Si el vector \( v \) no está en en en plano \( XY \) es de la forma \( v=(a,b,c) \) con \( c\neq 0 \) entonces le aplicamos un giro sobre el eje \( X \) para llevarlo al plano \( XY. \) El vector girado es de la forma:

\( (a,b\,cos(\alpha)-c\,\sin(\alpha),b\,sin(\alpha)+c\,cos(\alpha)) \)

y escogemos el ángulo de manera que \( b\,sin(\alpha)+b\,cos(\alpha)=0 \).

Una vez que el vector está en en plano \( XY \) volvemos al paso (1).

Saludos.

¡¡¡Gracias!!! Es más fácil de lo que imaginaba. Aunque creo que ha sido una confusión, pero en el paso 2, cuando introduces la condición de que \( b\,sin(\alpha)+b\,cos(\alpha)=0 \), ¿no sería \( b\,sin(\alpha)+c\,cos(\alpha)=0 \), ya que quieres que sea 0 la tercera coordenada? Muchas gracias de nuevo :)

08 Octubre, 2019, 07:39 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

¡¡¡Gracias!!! Es más fácil de lo que imaginaba. Aunque creo que ha sido una confusión, pero en el paso 2, cuando introduces la condición de que \( b\,sin(\alpha)+b\,cos(\alpha)=0 \), ¿no sería \( b\,sin(\alpha)+c\,cos(\alpha)=0 \), ya que quieres que sea 0 la tercera coordenada? Muchas gracias de nuevo :)

Si, gracias. Ya lo he corregido.

Saludos.