[GMat]

Saludos. Me gustaría que me ayudaran con los siguientes problemas:

1) Considere el conjunto \( S \) de todos los números reales \( x\in[0,1] \) que tienen una expansión decimal de la forma \( x=0,d_1d_2\ldots d_n\ldots \) donde los \( d_i \) están en el conjunto\( \{2,3,4,6,7,9\} \). Pruebe o refute que \( S \) es un conjunto cerrado.

Gracias de antemano

[Masacroso]

Saludos. Me gustaría que me ayudaran con los siguientes problemas:

1) Considere el conjunto \( S \) de todos los números reales \( x\in[0,1] \) que tienen una expansión decimal de la forma \( x=0,d_1d_2\ldots d_n\ldots \) donde los \( d_i \) están en el conjunto \( \{2,3,4,6,7,9\} \). Pruebe o refute que \( S \) es un conjunto cerrado.

Gracias de antemano

Pista: sea \( S_n \) el conjunto de números en \( [0,1] \) en cuya expansión decimal ninguno de los primeros \( n \) dígitos pertenecen al conjunto \( \{2,3,4,6,7,9\} \). Entonces \( S=\bigcap_{n\geqslant 0}S_n \).

[GMat]

Saludos. Gracias por responder. Disculpa pero ¿podrías explicar un poco más? No me quedó claro con la pista.

[Masacroso]

Saludos. Gracias por responder. Disculpa pero ¿podrías explicar un poco más? No me quedó claro con la pista.

Cada \( S_n \) es cerrado, e intersección de conjuntos cerrados es siempre un conjunto cerrado. Para ver que \( S_n \) es cerrado es suficiente con ver que dados unos primeros \( n \) dígitos del tipo que sean, que definen un número \( x_m \), tenemos que \( x_m+[0,10^{-n}] \) es cerrado.

Como la cantidad de números \( x_m \) con \( n \) dígitos que se pueden formar es finita, de hecho el número es \( M_n:=4^n \) en tu caso, tenemos que \( S_n=\bigcup_{j=1}^{M_n}(x_m+[0,10^{-n}]) \), y como toda unión finita de conjuntos cerrados es cerrado entonces \( S_n \) es cerrado. Aquí hemos usado el hecho de que \( 0,9999...=1 \), o más bien en este caso que \( 10^{-n}\cdot 0,9999999...=10^{-n} \).