[GMat]

Saludos. Me gustaría pedir su ayuda con el siguiente problema:

Sea \( V \) un espacio vectorial real y \( T:V\rightarrow V \) un operador lineal que cumple \( T^2=T-I \) donde \( I \) denota el operador identidad en \( V \). Pruebe que \( T \) no es diagonalizable.

No se me ocurrió como resolverlo y he visto varios ejercicios donde colocan un operador que cumple alguna ecuación como la de arriba y aparece probar cosas como calculo de valores propios y lo que pregunte arriba. Me gustaria que me ayudaran no solo a responder esa pregunta sino en general, que tipo de resultados puedo utilizar para responder preguntas referentes a un operador cuando cumple alguna ecuación, me conformo con el capitulo(s) de algún libro que pueda usar de referencia.

Gracias de antemano.

[feriva]

Hola.

me conformo con el capitulo(s) de algún libro que pueda usar de referencia.

Busca teorema de Cayley-Hamilton en internet o el libro que sea. Creo que te valdrá.

Saludos.

[delmar]

Hola

Se puede hacer por reducción al absurdo. Se supone que existe una transformación lineal \( T:V\rightarrow{V} \) donde V es un espacio lineal real de dimensión n, que cumple la condición \( T^2=T-I \) y que es diagonalizable. En esas condiciones existe una base \( B=(u_1,u_2,...,u_n) \) de V formada por autovectores de T, eso implica que \( u_k, \ k=1,2,..n \) son autovectores de T. En consecuencia \( T^2(u_k)=T(T(u_k))=T(\lambda_k \ u_k)=\lambda_kT(u_k)=\lambda^2_ku_k \) donde \( \lambda_k\in{R} \) es el autovalor al que pertenece \( u_k \); pero el cumplimiento de la condición implica \( T^2(u_k)=(T-I)(u_k) \Rightarrow{\lambda^2_k u_k=T(u_k)-I(u_k)=\lambda_ku_k-u_k} \)

De esta última ecuación se llega a : \( (\lambda^2_k-\lambda_k+1) \ u_k=O \)

El cumplimiento de esto implica un absurdo, a ver  si lo encuentras.


Saludos

[GMat]

Saludos. Ya con la referencia de feriva lo habia pillado, pero tu prueba es muy constructiva y aclaratoria, gracias a ambos

[Fernando Revilla]

Otra forma: si se nos permite usar que el polinomio mínimo divide al característico con los mismos factores irreducibles y que el polimio mínimo divide a todo polinomio anulador, tenemos que \( \lambda^2-\lambda +1=(\lambda-\alpha)(\lambda-\overline{\alpha}) \) con \( \alpha=1/2+\sqrt{3}i/2. \) Esto implica que \( T \) no tiene valores propios al ser \( V \) espacio vectorial real.