Autor Tema: Calcula derivada de \(\displaystyle\int_{-e^x}^{\sen^2 x}\cos(\log^2(t^2))dt\).

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10 Octubre, 2019, 12:39 pm
Respuesta #20

Buscón

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Hola

- Si \( x\geq 0 \) tienes \( F(x)=\displaystyle\int_{x}^{0}\cos t\;dt=-\displaystyle\int_{0}^{x}\cos t\;dt \) y su derivada es por tanto \( -cos(x) \).

Esa no es la definición formal, esa es la expresión.

¡Pero qué mas quieres!.

Tienes \( F:[0,\pi/2]\to \Bbb R \) definida como:

 \( F(x)=\displaystyle\int_{x}^{0}\cos t\;dt=-\color{blue}\displaystyle\int_{0}^{x}\cos t\;dt\color{blue} \)

La parte en azul no es más que la integral de Riemann de la función coseno en el intervalo \( [0,x] \). Lo único que se podría aclarar más es recordar como se define la integral de Riemann, pero no creo que sea lo que pides.  ???

Saludos.

Pues aclarar conceptos.

La primitiva de la función    \( f(x)=\cos x \)    es la función    \( \sen x \).   

¿Si ahora quiero calcular el área bajo la curva de la función    \( \cos x \)    entre    \( 0 \)    y    \( x \)    puedo hacer    \( A=-\displaystyle\int_{0}^{x}\cos t\;dt=-(\sen x-\sen 0)=-\sen x \)?   

Yo diría que no, que esa área es    \( \sen x \).    Entonces es falso que la integral de una función es la región comprendida entre la función, el eje de abscisas, .... No es así en general, la integral es algo más que eso.

Saludos.

10 Octubre, 2019, 01:03 pm
Respuesta #21

Luis Fuentes

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Hola

La primitiva de la función    \( f(x)=\cos x \)    es la función    \( \sen x \).   

¿Si ahora quiero calcular el área bajo la curva de la función    \( \cos x \)    entre    \( 0 \)    y    \( x \)    puedo hacer    \( A=-\displaystyle\int_{0}^{x}\cos t\;dt=-(\sen x-\sen 0)=-\sen x \)?   

En general el área de la región comprendida entre el eje de coordenadas \( OX \), la curva  \( y=f(x) \) y las rectas \( x=a \), \( x=b \) con \( a<b \) es:

\( \displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|dx \)

Eso es lo que aparece en todos los libros de cálculo, cuando se interpreta la integral como área. Si quitas el valor absoluto y la función no es no negativa en todo punto.. ya no aplica; si \( b<a \) ya no aplica; pero no hay raro nada en eso. No aplica porque estamos "inventando" situaciones donde en ningún momento nadie ha dicho que pudiera hacerse semejante interpretación.

Saludos.

10 Octubre, 2019, 01:19 pm
Respuesta #22

Buscón

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Hola

La primitiva de la función    \( f(x)=\cos x \)    es la función    \( \sen x \).   

¿Si ahora quiero calcular el área bajo la curva de la función    \( \cos x \)    entre    \( 0 \)    y    \( x \)    puedo hacer    \( A=-\displaystyle\int_{0}^{x}\cos t\;dt=-(\sen x-\sen 0)=-\sen x \)?   

En general el área de la región comprendida entre el eje de coordenadas \( OX \), la curva  \( y=f(x) \) y las rectas \( x=a \), \( x=b \) con \( a<b \) es:

\( \displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|dx \)

Eso es lo que aparece en todos los libros de cálculo, cuando se interpreta la integral como área. Si quitas el valor absoluto y la función no es no negativa en todo punto.. ya no aplica; si \( b<a \) ya no aplica; pero no hay raro nada en eso. No aplica porque estamos "inventando" situaciones donde en ningún momento nadie ha dicho que pudiera hacerse semejante interpretación.

Saludos.

Sin embargo    \( -\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos t\;dt=-\sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=-1 \),    que se puede interpretar como el área de la región comprendida entre la función    \( -\sen x \)    el eje de abscisas y las rectas    \( x=0 \)    y    \( x=\displaystyle\frac{\pi}{2} \).    Algo así como "menos el área" de la función    \( \sen x \)    entre    \( 0 \)    y    \( \displaystyle\frac{\pi}{2} \).

10 Octubre, 2019, 04:31 pm
Respuesta #23

Luis Fuentes

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Sin embargo    \( -\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos t\;dt=-\sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=-1 \),    que se puede interpretar como el área de la región comprendida entre la función    \( -\sen x \)    el eje de abscisas y las rectas    \( x=0 \)    y    \( x=\displaystyle\frac{\pi}{2} \).    Algo así como "menos el área" de la función    \( \sen x \)    entre    \( 0 \)    y    \( \displaystyle\frac{\pi}{2} \).

Más bien menos el área de la función coseno.

Sea como sea... vale...¿y?. Es que no entiendo esas consideraciones a que vienen. También podríamos escribir:

\( 3\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos t\;dt \)

y sería el triple del área bla, bla, bla...

Es decir hay una interpretación muy clara y precisa de cuando el integral equivale al área. A partir de ahí le puedes dar todas las vueltas de tuerca que quieres y buscarle tres pies al gato. Pero mi impresión (¡y me pasa con muchos de tus mensajes!  :D) es que en lugar de hacerlo buscando la clariad, lo haces buscando el enredo.

Saludos.

10 Octubre, 2019, 08:46 pm
Respuesta #24

Buscón

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Sin embargo    \( -\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos t\;dt=-\sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=-1 \),    que se puede interpretar como el área de la región comprendida entre la función    \( -\sen x \)    el eje de abscisas y las rectas    \( x=0 \)    y    \( x=\displaystyle\frac{\pi}{2} \).    Algo así como "menos el área" de la función    \( \sen x \)    entre    \( 0 \)    y    \( \displaystyle\frac{\pi}{2} \).

Más bien menos el área de la función coseno.

Sea como sea... vale...¿y?. Es que no entiendo esas consideraciones a que vienen. También podríamos escribir:

\( 3\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos t\;dt \)

y sería el triple del área bla, bla, bla...

Es decir hay una interpretación muy clara y precisa de cuando el integral equivale al área. A partir de ahí le puedes dar todas las vueltas de tuerca que quieres y buscarle tres pies al gato. Pero mi impresión (¡y me pasa con muchos de tus mensajes!  :D) es que en lugar de hacerlo buscando la clariad, lo haces buscando el enredo.

Saludos.

Es cuestión de puntos de vista. No es lo mismo mirar desde el conocimiento y dominio de la materia que mirar desde el desconocimiento y aprendizaje de la materia.

Saludos.

10 Octubre, 2019, 09:28 pm
Respuesta #25

Luis Fuentes

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Hola

Es cuestión de puntos de vista. No es lo mismo mirar desde el conocimiento y dominio de la materia que mirar desde el desconocimiento y aprendizaje de la materia.

Si, si. De hecho me parece muy bien que preguntes todo lo que se te ocurra, por enrevesado que a mi me parezca. Es así como se aprende. No te critico por ello.

Pero me llama la atención como siendo tan riguroso, escribiendo todo tan minuciosamente, de repente te saltas de golpe ese rigor para exponer un supuesto problema que simplemente es fruto de llevar ciertas definiciones a situaciones para las que no fueron pensadas, ni formalmente ni intuitivamente.

Saludos.

10 Octubre, 2019, 11:00 pm
Respuesta #26

Buscón

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Hola

Es cuestión de puntos de vista. No es lo mismo mirar desde el conocimiento y dominio de la materia que mirar desde el desconocimiento y aprendizaje de la materia.

Si, si. De hecho me parece muy bien que preguntes todo lo que se te ocurra, por enrevesado que a mi me parezca. Es así como se aprende. No te critico por ello.

Pero me llama la atención como siendo tan riguroso, escribiendo todo tan minuciosamente, de repente te saltas de golpe ese rigor para exponer un supuesto problema que simplemente es fruto de llevar ciertas definiciones a situaciones para las que no fueron pensadas, ni formalmente ni intuitivamente.

Saludos.

Pues aprovecho la invitación aunque la duda la halla planteado en este hilo.

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=110840.msg438277#msg438277

¿Como se justifica la aplicación del teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena para derivar funciones de la forma    \( H(x)=\displaystyle\int_{a}^{g(x)}f(t)\;dt \)    con    \( f \)    continua y    \( g \)    derivable?


11 Octubre, 2019, 10:32 am
Respuesta #27

Luis Fuentes

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Hola

Pues aprovecho la invitación aunque la duda la halla planteado en este hilo.

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=110840.msg438277#msg438277

¿Como se justifica la aplicación del teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena para derivar funciones de la forma    \( H(x)=\displaystyle\int_{a}^{g(x)}f(t)\;dt \)    con    \( f \)    continua y    \( g \)    derivable?

Te contesto allí.

Saludos.

08 Febrero, 2020, 07:04 pm
Respuesta #28

Pacomg

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Por otro lado simplemente he tomado como \( F(x) \) cualquier primitiva de \( cos(log^2(x^2)) \). Sabemos que tal primitiva existe porque esta función es continua.

Hola
Tengo una duda sobre este problema. Cuando dices que esta función \( cos(log^2(x^2)) \) continua, en \( x=0 \) no lo es. ¿Esto influye a la hora de aplicar el teorema fundamental del cálculo integral? Porque el intervalo de integración contiene al cero.
Saludos

09 Febrero, 2020, 10:42 am
Respuesta #29

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Por otro lado simplemente he tomado como \( F(x) \) cualquier primitiva de \( cos(log^2(x^2)) \). Sabemos que tal primitiva existe porque esta función es continua.

Hola
Tengo una duda sobre este problema. Cuando dices que esta función \( cos(log^2(x^2)) \) continua, en \( x=0 \) no lo es. ¿Esto influye a la hora de aplicar el teorema fundamental del cálculo integral? Porque el intervalo de integración contiene al cero.
Saludos

A ver si se pasa Luis pero sí, tal y como está planteada la integral sería una integral impropia de Riemann. Así a golpe de vista no sé si converge, eso sería más fácil verlo utilizando una primitiva del integrando en la región donde es integrable y tomar el límite al acercarse al cero, fíjate que la integral se puede reescribir como

\( \displaystyle{
\int_{g(x)}^{f(x)}h(x)\,\mathrm d x=\lim_{t\to 0^+}\int_{t}^{f(x)}h(x)\,\mathrm d x
-\lim_{s\to 0^-}\int_{s}^{g(x)}h(x)\,\mathrm d x
} \)

09 Febrero, 2020, 03:52 pm
Respuesta #30

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Claro, si pudiéramos calcular una primitiva de f podríamos ver si converge. Pero la duda que tengo es si podemos calcular la derivada usando el teorema fundamental del cálculo integral.
Gracias por la respuesta
Saludos

09 Febrero, 2020, 06:50 pm
Respuesta #31

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Claro, si pudiéramos calcular una primitiva de f podríamos ver si converge. Pero la duda que tengo es si podemos calcular la derivada usando el teorema fundamental del cálculo integral.
Gracias por la respuesta
Saludos

Lo que se puede hacer es calcular la derivada en regiones del tipo \( [t,\sen^2 x] \) y \( [-e^x,-s] \), y ver si ambas derivadas convergen uniformemente cuando \( s,t\to 0^+ \), eso nos indicaría que, si es así, entonces el límite de las derivadas es la derivada del límite (asumiendo que la integral converja, claro).

Es decir, si tenemos una sucesión de funciones \( (f_n) \) que convergen puntualmente a una función \( f \) y cuya sucesión de derivadas converge uniformemente, entonces se cumple que \( (f'_n)\to f' \).

10 Febrero, 2020, 10:58 am
Respuesta #32

Luis Fuentes

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Hola

Tengo una duda sobre este problema. Cuando dices que esta función \( cos(log^2(x^2)) \) continua, en \( x=0 \) no lo es. ¿Esto influye a la hora de aplicar el teorema fundamental del cálculo integral? Porque el intervalo de integración contiene al cero.
Saludos

Si. Tienes razón. Hay que tener cuidado. Veamos...

A ver si se pasa Luis pero sí, tal y como está planteada la integral sería una integral impropia de Riemann. Así a golpe de vista no sé si converge, eso sería más fácil verlo utilizando una primitiva del integrando en la región donde es integrable y tomar el límite al acercarse al cero, fíjate que la integral se puede reescribir como

\( \displaystyle{
\int_{g(x)}^{f(x)}h(x)\,\mathrm d x=\lim_{t\to 0^+}\int_{t}^{f(x)}h(x)\,\mathrm d x
-\lim_{s\to 0^-}\int_{s}^{g(x)}h(x)\,\mathrm d x
} \)

Realmente la función \( cos(log^2(t^2)) \) es acotada. Puede redefinirse de cualquier manera en \( t=0 \) y sólo tiene una discontinuidad. Por tanto es Riemann integrable.

Si tenemos:

\( w(x)=\displaystyle\int_{g(x)}^{h(x)}f(t)dt \)

en un punto \( x \) donde \( g(x),h(x)\neq 0 \) continuas y derivables, y \( g(x)<0<h(x) \), para un cierto \( \epsilon \) podemos escribir:

\( w(x)=\displaystyle\int_{g(x)}^{-\epsilon}f(t)dt+\displaystyle\int_{-\epsilon}^{-\epsilon}f(t)dt+\displaystyle\int_{\epsilon}^{h(x)}f(t)dt=F(-\epsilon)-F(g(x))+cte+F(h(x))-F(\epsilon) \)

siendo \( F(x) \) una primitiva de \( f(x) \) fuera de \( x=0 \).

Entonces:

\( w'(x)=F'(h(x))h'(x)-F'(g(x))g'(x) \)

Es decir el método que usamos para derivar sigue funcionando excepto en los puntos en los que \( h(x) \) ó \( g(x) \) se anulan. En nuestro caso en todos los puntos excepto cuando \( sin(x)=0 \).

Saludos.


10 Febrero, 2020, 11:02 am
Respuesta #33

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Tengo una duda sobre este problema. Cuando dices que esta función \( cos(log^2(x^2)) \) continua, en \( x=0 \) no lo es. ¿Esto influye a la hora de aplicar el teorema fundamental del cálculo integral? Porque el intervalo de integración contiene al cero.
Saludos

Si. Tienes razón. Hay que tener cuidado. Veamos...

A ver si se pasa Luis pero sí, tal y como está planteada la integral sería una integral impropia de Riemann. Así a golpe de vista no sé si converge, eso sería más fácil verlo utilizando una primitiva del integrando en la región donde es integrable y tomar el límite al acercarse al cero, fíjate que la integral se puede reescribir como

\( \displaystyle{
\int_{g(x)}^{f(x)}h(x)\,\mathrm d x=\lim_{t\to 0^+}\int_{t}^{f(x)}h(x)\,\mathrm d x
-\lim_{s\to 0^-}\int_{s}^{g(x)}h(x)\,\mathrm d x
} \)

Realmente la función \( cos(log^2(t^2)) \) es acotada. Puede redefinirse de cualquier manera en \( t=0 \) y sólo tiene una discontinuidad. Por tanto es Riemann integrable.

Si tenemos:

\( w(x)=\displaystyle\int_{g(x)}^{h(x)}f(t)dt \)

en un punto \( x \) donde \( g(x),h(x)\neq 0 \) continuas y derivables, y \( g(x)<0<h(x) \), para un cierto \( \epsilon \) podemos escribir:

\( w(x)=\displaystyle\int_{g(x)}^{-\epsilon}f(t)dt+\displaystyle\int_{-\epsilon}^{-\epsilon}f(t)dt+\displaystyle\int_{\epsilon}^{h(x)}f(t)dt=F(-\epsilon)-F(g(x))+cte+F(h(x))-F(\epsilon) \)

siendo \( F(x) \) una primitiva de \( f(x) \) fuera de \( x=0 \).

Entonces:

\( w'(x)=F'(h(x))h'(x)-F'(g(x))g'(x) \)

Es decir el método que usamos para derivar sigue funcionando excepto en los puntos en los que \( h(x) \) ó \( g(x) \) se anulan. En nuestro caso en todos los puntos excepto cuando \( sin(x)=0 \).

Saludos.



Cierto, cierto. El criterio de Lebesgue nos dice que con un conjunto de discontinuidades de medida finita nula la función es Riemann integrable. Es algo contraintuitivo ya que la función varía enormemente cerca del origen.

10 Febrero, 2020, 10:45 pm
Respuesta #34

Pacomg

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20 Agosto, 2020, 02:53 am
Respuesta #35

Buscón

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Bueno, retomando el tema.


Cita de: Javier Pérez. Cálculo diferencial e integral. pág 394
8.11 Teorema (Condiciones suficientes de integrabilidad Riemann). Sea    \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \).    Cada una de las siguientes condiciones garantiza que    \( f \)    es integrable Riemann en    \( [a,b] \).

   i)    \( f \)    está acotada en    \( [a,b] \)    y tiene un número finito de discontinuidades en    \( [a,b] \).    En particular toda función continua en un intervalo cerrado y acotado es integrable en dicho intervalo.

   ii)    \( f \)    es monótona en    \( [a,b] \).


La función a pesar de ser acotada y tener un número finito de discontinuidades, (en concreto una en    \( x=0 \))    no está definida en un intervalo cerrado y acotado, y tampoco es monótona. No cumple las condiciones de integrabilidad Riemann.

:-\

Saludos.

20 Agosto, 2020, 02:06 pm
Respuesta #36

Buscón

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¿Es evitable la discontinuidad de la función    \( f \)    en    \( x=0 \)?    ¿Como se debe definir    \( f(0) \)?


Se tiene que    \( \displaystyle\lim_{t \to{+}0\\t<0}{\cos\big(\log^2(t^2})\big)=\lim_{t \to{+}0\\t>0}{\cos\big(\log^2(t^2})\big)\in{[-1,1]} \),    lo que permite reescribir    \( G \)    como
 
\( \displaystyle G(x)=\int_{-e^x}^{0}\cos\big(\log^2(t^2)\big)\cdot{dt}+\int_{0}^{\sen^2(x)}\cos\big(\log^2(t^2)\big)\cdot{dt}=\int_{0}^{\sen^2(x)}\cos\big(\log^2(t^2)\big)\cdot{dt}-\int_{0}^{-e^x}\cos\big(\log^2(t^2)\big)\cdot{dt} \)


y calcular la derivada

\( \begin{align*}\displaystyle G'(x)&=2\sen(x)\cdot{}\cos(x)\cdot{\cos\Big(\log^2\big(\sen^2(x)\big)^2\Big)}+e^x\cdot{}\cos(x)\cdot{\cos\Big(\log^2\big(-e^x\big)^2\Big)}=\\\\
&=\sen(2x)\cdot{\cos\Big(\log^2\big(\sen^2(x)\big)^2\Big)}+e^x\color{red}\cancel{\color{black}\cdot{}\cos(x)}\color{black}\cdot{\cos\Big(\color{red}\cancelto{4x^2}{\color{black}2x}\color{black}\log^2\big(e\big)\Big)}=\\\\
&=\sen(2x)\cdot{\cos\Big(\log^2\big(\sen^2(x)\big)^2\Big)}+e^x\cdot{}\color{red}\cancel{\color{black}\cos(x)}\color{black}\cdot{\cos\big(4x^{\color{red}2}\big)}\end{align*} \)

Espero sean correctos los cálculos.

Saludos.


CORREGIDO.

25 Agosto, 2020, 02:17 pm
Respuesta #37

Luis Fuentes

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\( \begin{align*}\displaystyle G'(x)&=2\sen(x)\cdot{}\cos(x)\cdot{\cos\Big(\log^2\big(\sen^2(x)\big)^2\Big)}+e^x\cdot{}\cos(x)\cdot{\cos\Big(\log^2\big(-e^x\big)^2\Big)}=\\\\
&=\sen(2x)\cdot{\cos\Big(\log^2\big(\sen^2(x)\big)^2\Big)}+e^x\cdot{}\cos(x)\cdot{\cos\Big(\color{red}2x\log^2\big(e\big)\color{black}\Big)}=\\\\
&=\sen(2x)\cdot{\cos\Big(\log^2\big(\sen^2(x)\big)^2\Big)}+e^x\cdot{}\cos(x)\cdot{\cos\big(4x\big)}\end{align*} \)


Hay un error.

\( Log^2((-e^x)^2)=Log^2(e^{2x})=(2xLog(e))^2=4x^2 \)

Saludos.

25 Agosto, 2020, 02:45 pm
Respuesta #38

Buscón

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\( \begin{align*}\displaystyle G'(x)&=2\sen(x)\cdot{}\cos(x)\cdot{\cos\Big(\log^2\big(\sen^2(x)\big)^2\Big)}+e^x\cdot{}\cos(x)\cdot{\cos\Big(\log^2\big(-e^x\big)^2\Big)}=\\\\
&=\sen(2x)\cdot{\cos\Big(\log^2\big(\sen^2(x)\big)^2\Big)}+e^x\cdot{}\color{red}\cos(x)\color{black}\cdot{\cos\Big(\color{red}2x\log^2\big(e\big)\color{black}\Big)}=\\\\
&=\sen(2x)\cdot{\cos\Big(\log^2\big(\sen^2(x)\big)^2\Big)}+e^x\cdot{}\cos(x)\cdot{\cos\big(4x\big)}\end{align*} \)


Hay un error.

\( Log^2((-e^x)^2)=Log^2(e^{2x})=(2xLog(e))^2=4x^2 \)

Saludos.

Muchas gracias.

Creo que hay más de uno. Ahora no veo de donde sale ese coseno.

26 Agosto, 2020, 01:59 pm
Respuesta #39

Luis Fuentes

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Hola

Creo que hay más de uno. Ahora no veo de donde sale ese coseno.

Si, cierto. Ese coseno sobra.

Saludos.