Autor Tema: Calcula derivada de \(\displaystyle\int_{-e^x}^{\sen^2 x}\cos(\log^2(t^2))dt\).

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01 Octubre, 2019, 09:40 pm
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Buscón

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Calcula la derivada de la función    \( G(x)=\displaystyle\int_{-e^x}^{\sen^2 x}\cos\bigg(\log^2\big(t^2\big)\bigg)\;dt \).


02 Octubre, 2019, 10:17 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola


Calcula la derivada de la función    \( G(x)=\displaystyle\int_{-e^x}^{\sen^2 x}\cos\bigg(\log^2\big(t^2\big)\bigg)\;dt \).


Es más de lo mismo. Si \( F(x) \) es una primitiva de \( cos(log^2(x^2)) \) (es decir verifica \( F'(x)=cos(log^2(x^2)) \)) entonces:

\( G(x)=F(sin^2(x))-F(-e^x) \)

Deriva con la regla de la cadena y termina...

Saludos.

02 Octubre, 2019, 05:23 pm
Respuesta #2

Buscón

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Hola


Calcula la derivada de la función    \( G(x)=\displaystyle\int_{-e^x}^{\sen^2 x}\cos\bigg(\log^2\big(t^2\big)\bigg)\;dt \).


Es más de lo mismo. Si \( F(x) \) es una primitiva de \( cos(log^2(x^2)) \) (es decir verifica \( F'(x)=cos(log^2(x^2)) \)) entonces:

\( G(x)=F(sin^2(x))-F(-e^x) \)

Deriva con la regla de la cadena y termina...

Saludos.

¿No hay que justificar primero que el extremo inferior del intervalo de integración es menor que el extremo superior? ¿Cuál es ese intervalo?.

Saludos, gracias.

03 Octubre, 2019, 07:51 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

¿No hay que justificar primero que el extremo inferior del intervalo de integración es menor que el extremo superior? ¿Cuál es ese intervalo?.

Pero no se si te entiendo. Tienes que:

\( -e^{x}<0\leq sin^2(x) \)

Por otro lado simplemente he tomado como \( F(x) \) cualquier primitiva de \( cos(log^2(x^2)) \). Sabemos que tal primitiva existe porque esta función es continua.

Saludos.

03 Octubre, 2019, 06:09 pm
Respuesta #4

Buscón

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Hola

¿No hay que justificar primero que el extremo inferior del intervalo de integración es menor que el extremo superior? ¿Cuál es ese intervalo?.

Pero no se si te entiendo. Tienes que:

\( -e^{x}<0\leq sin^2(x) \)

Por otro lado simplemente he tomado como \( F(x) \) cualquier primitiva de \( cos(log^2(x^2)) \). Sabemos que tal primitiva existe porque esta función es continua.

Saludos.

Pero debe estar bien definida. No se puede definir por ejemplo una función    \( f:[b,a]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    con    \( a<b \). ¿O sí?

03 Octubre, 2019, 07:25 pm
Respuesta #5

Buscón

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No acabo de entenderlo


Por un lado, por definición de integral Riemann, el área de la región comprendida entre la curva    \( f(x)=\sen x \)    el eje de abscisas y las rectas    \( x=0 \),    \( x=\displaystyle\frac{\pi}{2} \)    es    \( A=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\;dx=\sen x\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=1 \).

por otro lado, por convenio.

\( A=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\cos x\;dx=-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\;dx=-\sen x\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=-1 \)

¿No hay contradicción?
 

03 Octubre, 2019, 07:42 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

No acabo de entenderlo


Por un lado, por definición de integral Riemann, el área de la región comprendida entre la curva    \( f(x)=\sen x \)    el eje de abscisas y las rectas    \( x=0 \),    \( x=\displaystyle\frac{\pi}{2} \)    es    \( A=\color{blue}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\color{black}\;dx=\sen x\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=1 \).

por otro lado, por convenio.

\( A=\color{red}\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\cos x\;dx\color{black}=-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\;dx=-\sen x\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=-1 \)

¿No hay contradicción?

No hay ninguna contradicción porque la segunda integral, la que marco en rojo, es distinta de la primera. No es al área.

Si \( f(x) \) es continua en todo \( \mathbb{R} \) puedes definir:

\( F(x)=\begin{cases} \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt & \text{si}& x\geq 0\\ -\displaystyle\int_{x}^{0}f(t)dt & \text{si}& x<0\end{cases} \)

Y es una función que cumple en todo punto que \( F'(x)=f(x). \)

Sea como sea lo que yo doy por conocido en la solución que plantee es que toda función continua en \( \Bbb R \) tiene primitiva en \( \Bbb R \). No me hace falta explicitar cual es esa primitiva.

Saludos.

03 Octubre, 2019, 08:43 pm
Respuesta #7

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No acabo de entenderlo


Por un lado, por definición de integral Riemann, el área de la región comprendida entre la curva    \( f(x)=\sen x \)    el eje de abscisas y las rectas    \( x=0 \),    \( x=\displaystyle\frac{\pi}{2} \)    es    \( A=\color{blue}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\color{black}\;dx=\sen x\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=1 \).

por otro lado, por convenio.

\( A=\color{red}\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\cos x\;dx\color{black}=-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\;dx=-\sen x\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=-1 \)

¿No hay contradicción?

No hay ninguna contradicción porque la segunda integral, la que marco en rojo, es distinta de la primera. No es al área.

Si \( f(x) \) es continua en todo \( \mathbb{R} \) puedes definir:

\( F(x)=\begin{cases} \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt & \text{si}& x\geq 0\\ -\displaystyle\int_{x}^{0}f(t)dt & \text{si}& x<0\end{cases} \)

Y es una función que cumple en todo punto que \( F'(x)=f(x). \)

Sea como sea lo que yo doy por conocido en la solución que plantee es que toda función continua en \( \Bbb R \) tiene primitiva en \( \Bbb R \). No me hace falta explicitar cual es esa primitiva.

Saludos.

Pero del teorema fundamental del cálculo se deduce que la primitiva de    \( f \)    es la función área de    \( f \).   Entendiéndose por "área de    \( f \)"    el área de la región comprendida entre el eje de abscisas y la función     \( f \)    en el intervalo de definición de dicha función área.

Esto es, las primitivas se construyen o definen en términos de áreas. Son funciones de áreas. Si    \( F \)   es una primitiva de     \( f \),    para todo    \( u,v\in{\left\{Dom(F)\right\}} \).    La función debería estar bien definida tanto si se trata de la función     \( F:[u,v]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    como si trata de la función    \( F:[v,u]\rightarrow{\mathbb{R}} \).

Entiendo entonces que la definición de las funciones de área es distinta a la definición de otras funciones.

Para una función de área,    \( F:[u,v]\rightarrow{\mathbb{R}}=-F:[v,u]\rightarrow{\mathbb{R}} \),    pero para cualquier otra función esto es falso.

EDITADO.

Efectivamente la función    \( f \)    determina los valores de la pendiente de la recta tangente a    \( F \)    en cada punto    \( x\in{\{Dom(F)\}} \).    Debería ser la misma tanto si se define     \( F:[u,v]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    como si se define    \( F:[v,u]\rightarrow{\mathbb{R}} \).    Pero es distinta. Esto es, una misma primitiva tiene dos derivadas distintas.

07 Octubre, 2019, 03:49 pm
Respuesta #8

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\( G(x)=\displaystyle\int_{-e^x}^{\sen^2x}\cos\left(\log^2t^2\right)\;dt=\displaystyle\int_{0}^{\sen^2 x}\cos\left(\log^2t^2\right)\;dt-\displaystyle\int_{0}^{-e^x}\cos\left(\log^2t^2\right)\;dt \)

Haciendo

   - \( F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\cos\left(\log^2t^2\right)\;dt \);         \( F'(x)=\cos\left(\log^2x^2\right) \),

   - \( g(x)=\sen^2x \);          \( g'(x)=2\sen x\cos x \)

   - \( h(x)=-e^x \);          \( h'(x)=-e^x \)

será    \( G(x)=F(g(x))-F(h(x)) \)    y   

\( F'(x)=\left[F(g(x))\right]'-\left[F(h(x))\right]'=F'(g(x))g'(x)-F'(h(x))h'(x)=\cos(\log^2(\sen^2x))\sen(2x)+e^x\cos(\log^2(-e^x)^{\color{red}2}) \)


Con la peculiaridad de que    \( \color{red}\cancel{\color{black}\log^2(-e^x)} \)    no está definido.     ???

Saludos.

CORREGIDO.

07 Octubre, 2019, 05:06 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

 Creo que te has precipitado escribiendo algunas cosas.

Pero del teorema fundamental del cálculo se deduce que la primitiva de    \( f \)    es la función área de    \( f \).   Entendiéndose por "área de    \( f \)"    el área de la región comprendida entre el eje de abscisas y la función     \( f \)    en el intervalo de definición de dicha función área.

No hace falta hablar nada sobre áreas para definir la integral y sus teoremas relacionados. Otra cosa es que el área proporiciona una interpretación geométrica e intuitiva de las ideas.

Citar
Esto es, las primitivas se construyen o definen en términos de áreas.

No. El área es una interpretación a posteriori.

Citar
Son funciones de áreas. Si    \( F \)   es una primitiva de     \( f \),    para todo    \( u,v\in{\left\{Dom(F)\right\}} \).    La función debería estar bien definida tanto si se trata de la función     \( F:[u,v]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    como si trata de la función    \( F:[v,u]\rightarrow{\mathbb{R}} \).

Aquí no sé si pretendes hablar de un intervalo \( [v,u] \) con v>u. Eso no tiene sentido.

Citar
Entiendo entonces que la definición de las funciones de área es distinta a la definición de otras funciones.

Para una función de área,    \( F:[u,v]\rightarrow{\mathbb{R}}=-F:[v,u]\rightarrow{\mathbb{R}} \),    pero para cualquier otra función esto es falso.

Creo que intentas considerar intervalos \( [v,u] \) con \( v>u \). No tiene sentido.


Citar
Efectivamente la función    \( f \)    determina los valores de la pendiente de la recta tangente a    \( F \)    en cada punto    \( x\in{\{Dom(F)\}} \).    Debería ser la misma tanto si se define     \( F:[u,v]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    como si se define    \( F:[v,u]\rightarrow{\mathbb{R}} \).    Pero es distinta. Esto es, una misma primitiva tiene dos derivadas distintas.[/color]

No se a que te refieres con la segunda definición. Pero desde luego una misma función no puede tener dos derivadas distintas.

\( G(x)=\displaystyle\int_{-e^x}^{\sen^2x}\cos\left(\log^2t^2\right)\;dt=\displaystyle\int_{0}^{\sen^2 x}\cos\left(\log^2t^2\right)\;dt-\displaystyle\int_{0}^{-e^x}\cos\left(\log^2t^2\right)\;dt \)

Haciendo

   - \( F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\cos\left(\log^2t^2\right)\;dt \);         \( F'(x)=\cos\left(\log^2x^2\right) \),

   - \( g(x)=\sen^2x \);          \( g'(x)=2\sen x\cos x \)

   - \( h(x)=-e^x \);          \( h'(x)=-e^x \)

será    \( G(x)=F(g(x))-F(h(x)) \)    y  

\( F'(x)=\left[F(g(x))\right]'-\left[F(h(x))\right]'=F'(g(x))g'(x)-F'(h(x))h'(x)=\cos(\log^2(\sen^2x))\sen(2x)+e^x\cos(\log^2(-e^x)) \)


Con la peculiaridad de que    \( \log^2(-e^x) \)    no está definido.     ???

Te has olvidado de elevar al cuadrado: \( \log^2((-e^x)^2) \).

Saludos.

07 Octubre, 2019, 05:49 pm
Respuesta #10

Buscón

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Son funciones de áreas. Si    \( F \)   es una primitiva de     \( f \),    para todo    \( u,v\in{\left\{Dom(F)\right\}} \).    La función debería estar bien definida tanto si se trata de la función     \( F:[u,v]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    como si trata de la función    \( F:[v,u]\rightarrow{\mathbb{R}} \).

Aquí no sé si pretendes hablar de un intervalo \( [v,u] \) con v>u. Eso no tiene sentido.


Pues a eso me refiero. No veo el sentido a definir, por ejemplo, la función    \( F:[\frac{\pi}{2},0]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    mediante    \( F(x)=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\cos tdt=-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos tdt \) .



\( G(x)=\displaystyle\int_{-e^x}^{\sen^2x}\cos\left(\log^2t^2\right)\;dt=\displaystyle\int_{0}^{\sen^2 x}\cos\left(\log^2t^2\right)\;dt-\displaystyle\int_{0}^{-e^x}\cos\left(\log^2t^2\right)\;dt \)

Haciendo

   - \( F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\cos\left(\log^2t^2\right)\;dt \);         \( F'(x)=\cos\left(\log^2x^2\right) \),

   - \( g(x)=\sen^2x \);          \( g'(x)=2\sen x\cos x \)

   - \( h(x)=-e^x \);          \( h'(x)=-e^x \)

será    \( G(x)=F(g(x))-F(h(x)) \)    y  

\( F'(x)=\left[F(g(x))\right]'-\left[F(h(x))\right]'=F'(g(x))g'(x)-F'(h(x))h'(x)=\cos(\log^2(\sen^2x))\sen(2x)+e^x\cos(\log^2(-e^x)) \)


Con la peculiaridad de que    \( \log^2(-e^x) \)    no está definido.     ???

Te has olvidado de elevar al cuadrado: \( \log^2((-e^x)^2) \).

Saludos.

Gracias, paso a corregirlo. Saludos.

08 Octubre, 2019, 08:05 am
Respuesta #11

Luis Fuentes

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Pues a eso me refiero. No veo el sentido a definir, por ejemplo, la función    \( F:[\frac{\pi}{2},0]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    mediante    \( F(x)=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\cos tdt=-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos tdt \) .

Pues si no le ves sentido, ¿por qué una y otra vez le das vueltas?. Nadie te ha dicho que hagas una definición semejante.

Lo que yo te he propuesto si quieres definir una primitiva en todos los reales es esto:

\( F(x)=\begin{cases} \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt & \text{si}& x\geq 0\\ -\displaystyle\int_{x}^{0}f(t)dt & \text{si}& x<0\end{cases} \)

Saludos.

08 Octubre, 2019, 07:57 pm
Respuesta #12

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Pues a eso me refiero. No veo el sentido a definir, por ejemplo, la función    \( F:[\frac{\pi}{2},0]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    mediante    \( F(x)=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\cos tdt=-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos tdt \) .

Pues si no le ves sentido, ¿por qué una y otra vez le das vueltas?. Nadie te ha dicho que hagas una definición semejante.

Lo que yo te he propuesto si quieres definir una primitiva en todos los reales es esto:

\( F(x)=\begin{cases} \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt & \text{si}& x\geq 0\\ -\displaystyle\int_{x}^{0}f(t)dt & \text{si}& x<0\end{cases} \)

Saludos.

No se trata de que quiera definir esa función, se trata de que por el teorema fundamental del cálculo se define la función    \( F:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)   mediante    \( F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt \),   para todo    \( x\in{[a,b]} \)    con    \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    integrable.    Hasta aquí bien si se supone    \( a<b \)    pues entonces    \( a=x \)    ó    \( x=b \)    ó    \( a<x<b \).

El problema surge cuando se hace el convenio:

\( \displaystyle\int_{u}^{v}f(t)dt=-\displaystyle\int_{v}^{u}f(t)dt \)

cualesquiera que sean    \( u \)    y    \( v \).

¿Cuál es la definición formal de la función    \( F(x)=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\cos x\;dx \)?

¿Verifica la función    \( F \)    los postulados del teorema fundamental del cálculo?

Es curiosidad. Saludos.

08 Octubre, 2019, 08:31 pm
Respuesta #13

Luis Fuentes

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El problema surge cuando se hace el convenio:

\( \displaystyle\int_{u}^{v}f(t)dt=-\displaystyle\int_{v}^{u}f(t)dt \)

cualesquiera que sean    \( u \)    y    \( v \).

¿Exactamente qué problema surge?  ???

Citar
¿Cuál es la definición formal de la función    \( F(x)=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\cos x\;dx \)?

Ahí has definido una función constante. Sea como sea precisamente por el convenio que acabas de decir si \( a<b \) entonces:

\( \displaystyle\int_{b}^{a}f(x)dx \) se define como \( -\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx \)

Citar
¿Verifica la función    \( F \)    los postulados del teorema fundamental del cálculo?

Es curiosidad. Saludos.

Como la \( F \) que has definido es constante no sé muy bien a que te refieres.

Quizá te refieras a algo así. Si tenemos \( f(x) \) continua y:

\( F(x)=\displaystyle\int_{x}^{b}f(x)dx \) con \( x\in [a,b] \)

¿Cuál es su derivada?. Pues tenemos en cuenta que:

\( F(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx-\displaystyle\int_{a}^{x}f(x)dx \)

Ahora por el Teorema fundamental del cálculo:

\( \left(\displaystyle\int_{a}^{x}f(x)d\right)'=f(x) \)

y así:

\( F(x)=-f(x) \)

Si ahora tenemos:

\( G(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(x)dx \) con \( x<a \)

Entonces por definición (por el convenio) eso equivale a:

\( G(x)=-\displaystyle\int_{x}^{a}f(x)dx \)

y por lo que acabamos de ver su derivada es:

\( G'(x)=-(-f(x))=f(x) \)

¿Aclarado?.

Saludos.

09 Octubre, 2019, 01:05 pm
Respuesta #14

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Como la \( F \) que has definido es constante no sé muy bien a que te refieres.

Quizá te refieras a algo así. Si tenemos \( f(x) \) continua y:

\( F(x)=\displaystyle\int_{x}^{b}f(x)dx \) con \( x\in [a,b] \)


Si gracias, me equivoqué, no era mi intención definir una función constante. Quería referirme a la función    \( F(x)=\displaystyle\int_{x}^{0}\cos t\;dt \).

¿Cuál es su definición formal? ¿Y su derivada?

Saludos.

09 Octubre, 2019, 01:15 pm
Respuesta #15

Luis Fuentes

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Si gracias, me equivoqué, no era mi intención definir una función constante. Quería referirme a la función    \( F(x)=\displaystyle\int_{x}^{0}\cos t\;dt \).

¿Cuál es su definición formal? ¿Y su derivada?

- Si \( x\geq 0 \) tienes \( F(x)=\displaystyle\int_{x}^{0}\cos t\;dt=-\displaystyle\int_{0}^{x}\cos t\;dt \) y su derivada es por tanto \( -cos(x) \).

- Si \( x<0 \) tienes directamente (con la interpretación usual del la Integral de Riemman) \( F(x)=\displaystyle\int_{x}^{0}\cos t\;dt \). Su derivada es \( F'(x)=-cos(t) \), por el motivo que expliqué aquí:

\( F(x)=\displaystyle\int_{x}^{b}f(x)dx \) con \( x\in [a,b] \)

¿Cuál es su derivada?. Pues tenemos en cuenta que:

\( F(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx-\displaystyle\int_{a}^{x}f(x)dx \)

Ahora por el Teorema fundamental del cálculo:

\( \left(\displaystyle\int_{a}^{x}f(x)d\right)'=f(x) \)

y así:

\( F(x)=-f(x) \)

Saludos.

09 Octubre, 2019, 01:47 pm
Respuesta #16

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Si gracias, me equivoqué, no era mi intención definir una función constante. Quería referirme a la función    \( F(x)=\displaystyle\int_{x}^{0}\cos t\;dt \).

¿Cuál es su definición formal? ¿Y su derivada?

- Si \( x\geq 0 \) tienes \( F(x)=\displaystyle\int_{x}^{0}\cos t\;dt=-\displaystyle\int_{0}^{x}\cos t\;dt \) y su derivada es por tanto \( -cos(x) \).

Tal y como está definida    \( f \)    sólo puede ser    \( 0\leq{x}\leq{\frac{\pi}{2}} \).

¿Cuál sería la definición formal de la función    \( F \)?

09 Octubre, 2019, 04:06 pm
Respuesta #17

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Tal y como está definida    \( f \)    sólo puede ser    \( 0\leq{x}\leq{\frac{\pi}{2}} \).

¿Cuál sería la definición formal de la función    \( F \)?

¡Te lo acabo de decir!:

- Si \( x\geq 0 \) tienes \( F(x)=\displaystyle\int_{x}^{0}\cos t\;dt=-\displaystyle\int_{0}^{x}\cos t\;dt \) y su derivada es por tanto \( -cos(x) \).

Saludos.

10 Octubre, 2019, 12:08 am
Respuesta #18

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Tal y como está definida    \( f \)    sólo puede ser    \( 0\leq{x}\leq{\frac{\pi}{2}} \).

¿Cuál sería la definición formal de la función    \( F \)?

¡Te lo acabo de decir!:

- Si \( x\geq 0 \) tienes \( F(x)=\displaystyle\int_{x}^{0}\cos t\;dt=-\displaystyle\int_{0}^{x}\cos t\;dt \) y su derivada es por tanto \( -cos(x) \).

Saludos.

Esa no es la definición formal, esa es la expresión.

10 Octubre, 2019, 10:38 am
Respuesta #19

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- Si \( x\geq 0 \) tienes \( F(x)=\displaystyle\int_{x}^{0}\cos t\;dt=-\displaystyle\int_{0}^{x}\cos t\;dt \) y su derivada es por tanto \( -cos(x) \).

Esa no es la definición formal, esa es la expresión.

¡Pero qué mas quieres!.

Tienes \( F:[0,\pi/2]\to \Bbb R \) definida como:

 \( F(x)=\displaystyle\int_{x}^{0}\cos t\;dt=-\color{blue}\displaystyle\int_{0}^{x}\cos t\;dt\color{blue} \)

La parte en azul no es más que la integral de Riemann de la función coseno en el intervalo \( [0,x] \). Lo único que se podría aclarar más es recordar como se define la integral de Riemann, pero no creo que sea lo que pides.  ???

Saludos.