Autor Tema: Dos problemas de álgebra

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26 Septiembre, 2019, 10:26 pm
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GMat

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Saludos, me gustaría que me ayudaran con los siguientes problemas

1) Sea \( G \) un grupo abeliano finito. Pruebe que si \( n\ |\ |G| \), entonces el número de soluciones a la ecuación \( x^n=1 \) en \( G \) es múltiplo de \( n \).

Coloqué la pregunta tal cual como la vi pero me supongo que al no dar ninguna caracterización de \( G \), \( 1 \) se refiere a la identidad. Se probar que si \( n\ |\ |G| \) entonces existe un subgrupo \( S \) de orden \( n \). Suponiendo que \( 1 \) es la identidad el resultado me parece claro si \( x\in S \) ya que seria por definición pero no vi como resolver el problema en el caso en \( x \) no es un elemento de \( S \).

2) Esta duda es mas de ayuda para entender una notación: ¿Como se ven los elementos del ideal de \( \mathbb{Z}[X] \), \( \langle 7,X^2+1\rangle \)?. ¿Podrían dar un ejemplo de un ideal de esa forma que sea primo o maximal? (puede ser el mismo que coloqué). Esto último lo pido porque alguien me dijo que en ese caso debia de considerar \( \mathbb{Z_7}/\langle X^2+1\rangle \) pero no estoy 100% de por que y como se puede hacer eso.

Gracias de antemano por la ayuda.

27 Septiembre, 2019, 10:41 am
Respuesta #1

geómetracat

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Para el 1), puedes probar a usar el teorema de estructura de frupos abelianos finitos, que te dice que todo grupo abeliano finito es un producto de grupos cíclicos finitos.

Sobre 2), los elementos del ideal \( (7,X^2+1) \) son por definición los polinomios con coeficientes enteros de la forma \( 7p(X) + (X^2+1)q(X) \), donde \( p(X),q(X) \) son polinomios con coeficientes enteros arbitrarios. No sé si hay una forma más sencilla de caracterizar los polinomios de este ideal. Pero por ejemplo, \( X^2+8 = (X^2+1) +7 \) pertenece al ideal, mientras que \( X^2+7 \) o \( 2 \) no pertenecen.

Es un ideal maximal (y por tanto, también primo). Para ver esto, es muy útil recordar que un ideal \( I \) de un anillo \( A \) es maximal si y solo si \( A/I \) es cuerpo, y es primo si y solo si \( A/I \) es dominio de integridad.
Así, para ver que \( (7,X^2+1) \) es maximal en \( \Bbb Z\left[X\right] \) hacemos el cociente y vemos:
\( \Bbb Z\left[X\right]/(7,X^2+1) \cong \Bbb Z_7 \left[X\right]/(X^2+1) \)
y este último anillo es un cuerpo porque \( \Bbb Z_7 \) es un cuerpo y \( X^2+1 \) es irreducible en \( \Bbb Z_7 \left[X\right] \) (porque es de grado \( 2 \) y no tiene raíces). Así pues, como el cociente es un cuerpo, el ideal \( (7,X^2+1) \) es maximal.

En el caso de \( \Bbb Z\left[X\right] \) se puede dar una descripción completa de sus ideales primos y maximales. Los ideales primos son de tres formas:
- el ideal cero (que es primo por ser \( \Bbb Z\left[X\right] \) dominio de integridad).
- los ideales principales \( (f(X)) \) donde \( f(X) \in \Bbb Z\left[X\right] \) es irreducible (esto incluye como caso particular los ideales de la forma \( (p) \) donde \( p\in \Bbb Z \) es primo).
-los ideales \( (p,f(X)) \), donde \( p \in \Bbb Z \) es primo y \( f(X) \in \Bbb Z\left[X\right] \) es tal que su reducción módulo \( p \) es irreducible en \( \Bbb Z_p\left[X\right] \).

Los ideales del último tipo además son los ideales maximales.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

27 Septiembre, 2019, 10:55 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 El primero es el Teorema de Frobenius. Una alternativa a la propuesto por geómetracat (y en realidad como siempre la elección de uno u otro camino está muy condicionada por la teoría previa que conoces), la puedes encontrar aquí.

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Saludos.

27 Septiembre, 2019, 11:27 am
Respuesta #3

geómetracat

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Un detalle: el teorema de Frobenius es más general que el ejercicio planteado, pues es para todo grupo finito (no necesariamente abeliano).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

27 Septiembre, 2019, 11:33 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Un detalle: el teorema de Frobenius es más general que el ejercicio planteado, pues es para todo grupo finito (no necesariamente abeliano).

Es verdad. No me habia fijado en el detalle. Gracias.

Saludos.