Para el 1), puedes probar a usar el teorema de estructura de frupos abelianos finitos, que te dice que todo grupo abeliano finito es un producto de grupos cíclicos finitos.
Sobre 2), los elementos del ideal \( (7,X^2+1) \) son por definición los polinomios con coeficientes enteros de la forma \( 7p(X) + (X^2+1)q(X) \), donde \( p(X),q(X) \) son polinomios con coeficientes enteros arbitrarios. No sé si hay una forma más sencilla de caracterizar los polinomios de este ideal. Pero por ejemplo, \( X^2+8 = (X^2+1) +7 \) pertenece al ideal, mientras que \( X^2+7 \) o \( 2 \) no pertenecen.
Es un ideal maximal (y por tanto, también primo). Para ver esto, es muy útil recordar que un ideal \( I \) de un anillo \( A \) es maximal si y solo si \( A/I \) es cuerpo, y es primo si y solo si \( A/I \) es dominio de integridad.
Así, para ver que \( (7,X^2+1) \) es maximal en \( \Bbb Z\left[X\right] \) hacemos el cociente y vemos:
\( \Bbb Z\left[X\right]/(7,X^2+1) \cong \Bbb Z_7 \left[X\right]/(X^2+1) \)
y este último anillo es un cuerpo porque \( \Bbb Z_7 \) es un cuerpo y \( X^2+1 \) es irreducible en \( \Bbb Z_7 \left[X\right] \) (porque es de grado \( 2 \) y no tiene raíces). Así pues, como el cociente es un cuerpo, el ideal \( (7,X^2+1) \) es maximal.
En el caso de \( \Bbb Z\left[X\right] \) se puede dar una descripción completa de sus ideales primos y maximales. Los ideales primos son de tres formas:
- el ideal cero (que es primo por ser \( \Bbb Z\left[X\right] \) dominio de integridad).
- los ideales principales \( (f(X)) \) donde \( f(X) \in \Bbb Z\left[X\right] \) es irreducible (esto incluye como caso particular los ideales de la forma \( (p) \) donde \( p\in \Bbb Z \) es primo).
-los ideales \( (p,f(X)) \), donde \( p \in \Bbb Z \) es primo y \( f(X) \in \Bbb Z\left[X\right] \) es tal que su reducción módulo \( p \) es irreducible en \( \Bbb Z_p\left[X\right] \).
Los ideales del último tipo además son los ideales maximales.
