Autor Tema: Problemas de probabilidad y combinatoria

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09 Junio, 2019, 01:56 pm
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Albpenu

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Hola a todos. Soy nuevo en el foro. Me llamo Alberto. Encantado.
Me podrías ayudar a resolver los siguientes problemas. Muchísimas gracias de antemano.

Tomando como base el juego del ajedrez también se pueden plantear problemas dentro del campo de la probabilidad.
a) Tenemos todas las piezas del juego en su caja de madera, introducimos la mano sin mirar al interior y extraemos la primera pieza que nos tropezamos. Qué probabilidad hay de que la pieza extraída sea:
i) De color negro. ⇒
ii) Un caballo. ⇒
iii) El rey blanco. ⇒
iv) Cualquiera pero que no sea una torre. ⇒
b) En las condiciones de la cuestión anterior, sacamos dos piezas al mismo tiempo. Qué probabilidad hay de que sean:
i) Del mismo color. ⇒
ii) De distinto color. ⇒
iii) Un alfil y una dama. ⇒
iv) Cualesquiera que no sean peones. ⇒
c) Responder a las preguntas de la cuestión anterior, pero suponiendo que después de extraída la primera pieza, ésta se devuelve a la caja antes de extraer la segunda.
   
d) Lanzamos un dardo sobre el tablero de ajedrez. ¿Qué probabilidad tenemos de alcanzar una casilla negra? ¿Y una blanca?
   
e) El mismo dardo se lanza ahora dos veces sobre el tablero. ¿Qué probabilidad hay de introducirlo en dos casillas del mismo color? ¿Y de una misma columna?
   
f) Se tira una moneda sobre el tablero de ajedrez. ¿Qué probabilidad hay de que caiga justamente dentro de una casilla sin cortar sus bordes? Se toma como diámetro de la moneda la cuarta parte de la longitud de una de las 64 casillas. Representar gráficamente la función que nos da la probabilidad pedida dependiendo del diámetro de la moneda y suponiendo fijo el lado de la casilla.
   
g) Dos jugadores de ajedrez, A y B, juegan un torneo que se termina al ganar uno de ellos dos partidas. A tiene una probabilidad de ganar de 2/10, y B de 3/10, siendo la probabilidad de tablas 1/2. ¿Cuál es la probabilidad de que gane A el torneo?

11 Junio, 2019, 02:11 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola a todos. Soy nuevo en el foro. Me llamo Alberto. Encantado.
Me podrías ayudar a resolver los siguientes problemas. Muchísimas gracias de antemano.

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 En particular no debes de limitarte a escribir un listado de enunciado de problemas; debes de indicar que has intentado y que dificultades concretas encuentras.

 Algunas indicaciones:

Citar
Tomando como base el juego del ajedrez también se pueden plantear problemas dentro del campo de la probabilidad.
a) Tenemos todas las piezas del juego en su caja de madera, introducimos la mano sin mirar al interior y extraemos la primera pieza que nos tropezamos. Qué probabilidad hay de que la pieza extraída sea:
i) De color negro. ⇒
ii) Un caballo. ⇒
iii) El rey blanco. ⇒
iv) Cualquiera pero que no sea una torre. ⇒

 En cualquiera de estos casos y dado que todas las piezas tienen la misma probabilidad de salir puedes calcular la probabilidad como:

\( \dfrac{\textsf{casos favorables}}{\textsf{casos totales}} \)

 Los casos totales son siempre \( 32 \) ya que hay \( 32 \) piezas en el ajedrez.

 Entonces por ejemplo en (iv) los casos favorables serían \( 32-4 \) porque hay \( 4 \) torres. La probabilidad pedida sería:

\(  \dfrac{28}{32}=\dfrac{7}{8}
 \)

Citar
b) En las condiciones de la cuestión anterior, sacamos dos piezas al mismo tiempo. Qué probabilidad hay de que sean:
i) Del mismo color. ⇒
ii) De distinto color. ⇒
iii) Un alfil y una dama. ⇒
iv) Cualesquiera que no sean peones. ⇒

La idea es la misma. Ahora los casos posibles son \( 32\cdot 31 \) (\( 32 \) para la primera pieza y \( 31 \) para la segunda, distinta de la inicial).

Por ejemplo en (iii) los casos favorables serían: \( 4\cdot 2+2\cdot 4 \) ya que hay 4 alfiles y 2 damas y pueden salir primero el alfil y luego la dama o al revés. La probabilidad sería:

\( \dfrac{4\cdot 2+2\cdot 4}{32\cdot 31} \)

Citar
c) Responder a las preguntas de la cuestión anterior, pero suponiendo que después de extraída la primera pieza, ésta se devuelve a la caja antes de extraer la segunda.

La diferencia es que ahora los casos totales son \( 32\cdot 32 \) ya que la primera pieza y segunda pueden repetirse. En el caso (iv) la probabilidad sería ahora:

\( \dfrac{4\cdot 2+2\cdot 4}{32\cdot 32} \)

También podriá calcularse usando que las dos extracciones son sucesos independientes.
   
Citar
d) Lanzamos un dardo sobre el tablero de ajedrez. ¿Qué probabilidad tenemos de alcanzar una casilla negra? ¿Y una blanca?

Pues por simetría la misma probabilidad de casilla blanca que negra: \( 1/2 \).
   
Citar
e) El mismo dardo se lanza ahora dos veces sobre el tablero. ¿Qué probabilidad hay de introducirlo en dos casillas del mismo color? ¿Y de una misma columna?

Los lanzamientos son sucesos independientes. La probabilidad de dos negros son: \( (1/2)^2 \) y dos blancos \( (1/2)^2 \). Por tanto mismo color:

\( (1/2)^2+(1/2)^2 \)

Por otra parte todas las columnas tienen la misma probabilidad. La probabilidad de que la segunda columna coincida con la primera es por tanto \( 1/8. \)
   
Citar
f) Se tira una moneda sobre el tablero de ajedrez. ¿Qué probabilidad hay de que caiga justamente dentro de una casilla sin cortar sus bordes? Se toma como diámetro de la moneda la cuarta parte de la longitud de una de las 64 casillas. Representar gráficamente la función que nos da la probabilidad pedida dependiendo del diámetro de la moneda y suponiendo fijo el lado de la casilla.


Usamos probabilidad geométrica.

Suponiendo que el centro de la moneda cae de manera equiprobable sobre cualquier posición de una casilla, si la moneda tiene diámetro \( d \) y cada casilla lado \( L \), para que la moneda no toque al borde su centro debe de estar en el cuadrado de lado \( L-d \) centrado en la casilla.

Por tanto la probabilidad de que no toque es:

\( \dfrac{(L-d)^2}{L^2} \)

He de irme ahora...

Saludos.

16 Octubre, 2019, 06:32 am
Respuesta #2

Richard R Richard

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Aunque un poco tarde , ,me pareció un problema interesante

Como bien te dice Luis tienes que considerar los casos a favor sobre los casos totales

a)i) \( P=\dfrac{16}{32}=\dfrac12 \)

a)ii) \( P=\dfrac{4}{32}=\dfrac18 \)

a)iii) \( P=\dfrac{1}{32} \)

a)iv) \( P=\dfrac{32-4}{32}=\dfrac78 \)

b)i) \( P=\dfrac{16}{32}\dfrac{15}{31}=\dfrac{15}{62} \)

b)ii) \( P=\dfrac{16}{32}\dfrac{16}{31}=\dfrac{8}{31} \)

b)iii) \( P=\dfrac{4}{32}\dfrac{2}{31}+\dfrac{2}{32}\dfrac{4}{31}=\dfrac1{62} \)

b)iv) \( P=\dfrac{16}{32}\dfrac{15}{31}=\dfrac{15}{62} \)

c)i) \( P=\dfrac{16}{32}\dfrac{16}{32}=\dfrac{1}{4} \)

c)ii) \( P=\dfrac{16}{32}\dfrac{16}{32}=\dfrac{1}{4} \)

c)iii) \( P=\dfrac{4}{32}\dfrac{2}{32}+\dfrac{2}{32}\dfrac{4}{32}=\dfrac1{64} \)

c)iv) \( P=\dfrac{16}{32}\dfrac{16}{32}=\dfrac{1}{4} \)

d) si la línea que separa las casillas la consideramos sin espesor, el área blanca sera igual área negra, lo que la probabilidad de dar al blanco es 1/2

e)  en el primer tiro le des al color que le des es un resultado positivo, en el segundo tiro tienes que atinarle al color anterior , esa probabilidad ya la calculaste y es 1/2

f) Aquí discrepo con Luis, creo que ha duplicado la probabilidad en las esquinas... para que la moneda toque una linea su centro no debe separar de 1/8 de longitud de casilla, es decir que si cada casilla la dividimos en 64 cuadraditos, si el centro de la moneda queda en el interior de los 28 cuadrados de la periferia, la moneda queda tocando un borde, luego

 \( P=\dfrac{28}{64}=\dfrac7{16} \)

g) la cantidad de resultados tablas no altera el marcado  sobre si gana A o B , solo interesa el orden en que se dan las victorias

AA con \( P_{AA}=\dfrac{2}{10}\dfrac{2}{10}=\dfrac{40}{1000} \)

ABA con \( P_{ABA}=\dfrac{2}{10}\dfrac{3}{10}\dfrac{2}{10}=\dfrac{12}{1000} \)

BAA con \( P_{BAA}=\dfrac{3}{10}\dfrac{2}{10}\dfrac{2}{10}=\dfrac{12}{1000} \)

BB con \( P_{BB}=\dfrac{3}{10}\dfrac{3}{10}=\dfrac{90}{1000} \)

BAB con \( P_{BAB}=\dfrac{3}{10}\dfrac{2}{10}\dfrac{3}{10}=\dfrac{18}{1000} \)

ABB con \( P_{ABB}=\dfrac{2}{10}\dfrac{3}{10}\dfrac{3}{10}=\dfrac{18}{1000} \)

Luego la probabilidad de que gane A es la suma de todas la probabilidades a favor de A sobre la suma de la probabilidades en favor de A y  de B

\( P_A=\dfrac{P_{AA}+P_{ABA}+P_{BAA}}{P_{AA}+P_{ABA}+P_{BAA}+P_{BB}+P_{BAB}+P_{ABB}} \)

\( P_A=\dfrac{\dfrac{40}{1000}+\dfrac{12}{1000}+\dfrac{12}{1000}}{\dfrac{40}{1000}+\dfrac{12}{1000}+\dfrac{12}{1000}+\dfrac{90}{1000}+\dfrac{18}{1000}+\dfrac{18}{1000}} \)

\( P_A=\dfrac{64}{180}=\dfrac{16}{45} \)


Saludos \( \mathbb R^3 \)
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

16 Octubre, 2019, 11:15 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

b)i) \( P=\dfrac{16}{32}\dfrac{15}{31}=\dfrac{15}{62} \)

No está bien. Nos piden la probabilidad de dos fichas de igual color, es decir o dos blancas o dos negras. Lo que has escrito ahí es la probabilidad de dos fichas de un mismo color prefijado. Por ejemplo, dos blancas pero no dos negras. Entonces en realidad la probabilidad pedida será el doble:

\( \dfrac{15}{31} \)

Citar
b)ii) \( P=\dfrac{16}{32}\dfrac{16}{31}=\dfrac{8}{31} \)

Debe de ser la complementaria de que las fichas sean del mismo color, es decir, la complementaria de la anterior:

\( 1-\dfrac{15}{31}=\dfrac{16}{31} \)

Citar
b)iii) \( P=\dfrac{4}{32}\dfrac{2}{31}+\dfrac{2}{32}\dfrac{4}{31}=\dfrac1{62} \)
b)iv) \( P=\dfrac{16}{32}\dfrac{15}{31}=\dfrac{15}{62} \)

Citar
c)i) \( P=\dfrac{16}{32}\dfrac{16}{32}=\dfrac{1}{4} \)

c)ii) \( P=\dfrac{16}{32}\dfrac{16}{32}=\dfrac{1}{4} \)

Aquí tienes el mismo problema que en lo análogo del apartado anterior. En realidad en ambos casos la probabilidad sería el doble de la que indicas: \( 1/2 \).

Citar
c)iii) \( P=\dfrac{4}{32}\dfrac{2}{32}+\dfrac{2}{32}\dfrac{4}{32}=\dfrac1{64} \)

c)iv) \( P=\dfrac{16}{32}\dfrac{16}{32}=\dfrac{1}{4} \)

Bien.

Citar
d) si la línea que separa las casillas la consideramos sin espesor, el área blanca sera igual área negra, lo que la probabilidad de dar al blanco es 1/2

e)  en el primer tiro le des al color que le des es un resultado positivo, en el segundo tiro tienes que atinarle al color anterior , esa probabilidad ya la calculaste y es 1/2

Bien.

Citar
f) Aquí discrepo con Luis, creo que ha duplicado la probabilidad en las esquinas... para que la moneda toque una linea su centro no debe separar de 1/8 de longitud de casilla, es decir que si cada casilla la dividimos en 64 cuadraditos, si el centro de la moneda queda en el interior de los 28 cuadrados de la periferia, la moneda queda tocando un borde, luego

 \( P=\dfrac{28}{64}=\dfrac7{16} \)

Esto lo comentaré en un mensaje aparte.

Citar
g) la cantidad de resultados tablas no altera el marcado  sobre si gana A o B , solo interesa el orden en que se dan las victorias

AA con \( P_{AA}=\dfrac{2}{10}\dfrac{2}{10}=\dfrac{40}{1000} \)

ABA con \( P_{ABA}=\dfrac{2}{10}\dfrac{3}{10}\dfrac{2}{10}=\dfrac{12}{1000} \)

BAA con \( P_{BAA}=\dfrac{3}{10}\dfrac{2}{10}\dfrac{2}{10}=\dfrac{12}{1000} \)

BB con \( P_{BB}=\dfrac{3}{10}\dfrac{3}{10}=\dfrac{90}{1000} \)

BAB con \( P_{BAB}=\dfrac{3}{10}\dfrac{2}{10}\dfrac{3}{10}=\dfrac{18}{1000} \)

ABB con \( P_{ABB}=\dfrac{2}{10}\dfrac{3}{10}\dfrac{3}{10}=\dfrac{18}{1000} \)

Luego la probabilidad de que gane A es la suma de todas la probabilidades a favor de A sobre la suma de la probabilidades en favor de A y  de B

\( P_A=\dfrac{P_{AA}+P_{ABA}+P_{BAA}}{P_{AA}+P_{ABA}+P_{BAA}+P_{BB}+P_{BAB}+P_{ABB}} \)

\( P_A=\dfrac{\dfrac{40}{1000}+\dfrac{12}{1000}+\dfrac{12}{1000}}{\dfrac{40}{1000}+\dfrac{12}{1000}+\dfrac{12}{1000}+\dfrac{90}{1000}+\dfrac{18}{1000}+\dfrac{18}{1000}} \)

\( P_A=\dfrac{64}{180}=\dfrac{16}{45} \)

No está bien.

En primer lugar gestionemos los empates. Llamamos \( A' \) al suceso de que \( A \) gane la siguiente partida que no acabe en empate. Es decir a las secuencias \( A,EA,EEA,EEEA,EEEEA,\ldots \). Su probabilidad es:

\( P(A')=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}p(E)^np(A)=\dfrac{p(A)}{1-p(E)}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5} \)

Análogamente:

\( P(B')=3/5 \).

La probabilidad de que gane \( A \) dos partidas antes de que las gane \( B \) es:

\( p(A'A')+p(A'B'A')+P(B'A'A')=\dfrac{2^2}{5^2}+\dfrac{2^2\cdot 3}{5^3}+\dfrac{2^2\cdot 3}{5^3}=\dfrac{44}{125} \)

Saludos.

16 Octubre, 2019, 12:04 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

f) Aquí discrepo con Luis, creo que ha duplicado la probabilidad en las esquinas... para que la moneda toque una linea su centro no debe separar de 1/8 de longitud de casilla, es decir que si cada casilla la dividimos en 64 cuadraditos, si el centro de la moneda queda en el interior de los 28 cuadrados de la periferia, la moneda queda tocando un borde, luego

 \( P=\dfrac{28}{64}=\dfrac7{16} \)

No entiendo lo que quieres decir. Lo que yo uso es que si el centro de la circunferencia está a menos distancia del radio de uno de los lados entonces lo toca; en otro caso no. La probabilidad (geométrica) es el área de la zona de centros viable, que es el cuadrado interior que deja un radio \( r \) a cada lado entre el área del cuadrado total:

\( \dfrac{(L-2r)^2}{L^2} \)

Puedes jugar con la idea en este gráfico, moviendo el centro de la moneda:


Saludos.

16 Octubre, 2019, 11:01 pm
Respuesta #5

Richard R Richard

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Hola , Luis, he visto mis errores, llevas razón, nada que debatir y mucho por aprender...disculpa las molestias por resucitar el hilo y muchas gracias por contestar.

Pero sigo con diferencias en el caso de la moneda me refería, a que el área donde puedes poner el centro de la moneda  en uno de los 64 cuadraditos de lado \( L \) es \( L\cdot 2\cdot \frac 18 L+ (L-2\cdot \frac 18 L)\cdot 2\cdot \frac 18 L=\dfrac{7}{16}L^2 \) que lleva a la probabilidad que indicaba \(  \dfrac{7}{16} \)

Pero escribiendo lo anterior  he visto algo más y es que si el centro de la moneda cae fuera de las 64 casillas, aún puede tocar un borde... así el área total posible es más grande  tiene de lado \( 8L+2R=8L+\frac14L= \) de esa longitud lo que toca una moneda es 9 columnas de\(  \frac14L \) de ancho  por \( 8L+\frac14L \) , los espacios intermedios son 72 y tienen dimensiones de \( \frac14L \) por \( \frac34L \) , así que lo que el área donde la moneda toca una linea es



\( A=9 \cdot (8L+\frac14L)\cdot\frac 14L  +72 \frac14L \cdot\frac34L = \dfrac{513}{16}L^2 \)

y el area total \( A_T=\dfrac{33L}{4}\cdot\dfrac{33L}{4}= \dfrac{1089}{16}L^2 \)

luego

\( P=\dfrac{3\cdot 19}{11^2}=0.471
 \)

que opinas?

Saludos y gracias de nuevo por leer.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

17 Octubre, 2019, 10:38 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Hola , Luis, he visto mis errores, llevas razón, nada que debatir y mucho por aprender...disculpa las molestias por resucitar el hilo y muchas gracias por contestar.

Pero sigo con diferencias en el caso de la moneda me refería, a que el área donde puedes poner el centro de la moneda  en uno de los 64 cuadraditos de lado \( L \) es \( L\cdot 2\cdot \frac 18 L+ (L-2\cdot \frac 18 L)\cdot 2\cdot \frac 18 L=\dfrac{7}{16}L^2 \) que lleva a la probabilidad que indicaba \(  \dfrac{7}{16} \)

Bien, ahora lo entiendo. Pero en eso no hay ninguna discrepancia. Tu ahí escribes la probabilidad de que la moneda toque el borde y yo escribía la complemementaria, la de que no toque:

\( \dfrac{(L-d)^2}{L^2}=\dfrac{(L-\frac{L}{4})^2}{L^2}=\dfrac{9}{16}=1-\dfrac{7}{16} \)

Citar
Pero escribiendo lo anterior  he visto algo más y es que si el centro de la moneda cae fuera de las 64 casillas, aún puede tocar un borde... así el área total posible es más grande  tiene de lado \( 8L+2R=8L+\frac14L= \) de esa longitud lo que toca una moneda es 9 columnas de\(  \frac14L \) de ancho  por \( 8L+\frac14L \) , los espacios intermedios son 72 y tienen dimensiones de \( \frac14L \) por \( \frac34L \) , así que lo que el área donde la moneda toca una linea es



\( A=9 \cdot (8L+\frac14L)\cdot\frac 14L  +72 \frac14L \cdot\frac34L = \dfrac{513}{16}L^2 \)

y el area total \( A_T=\dfrac{33L}{4}\cdot\dfrac{33L}{4}= \dfrac{1089}{16}L^2 \)

luego

\( P=\dfrac{3\cdot 19}{11^2}=0.471
 \)

que opinas?

Respecto a esto... hay una imprecisión en el enunciado. Yo he supuesto que el centro de la moneda siempre cae en alguna de las 64 casillas del tablero de ajedres. Si suponemos que puede caer fuera, había que precisar en realidad exactamente en qué area suponemos que puede caer.

Si suponemos que el centro la moneda puede caer en un cuadrado que en cada uno de los cuatro lados añade una longitud \( r \) a la región formada por las 64 casillas, entonces la probabilidad de que la moneda NO toque un borde sería:

\( \dfrac{64(L-2r)^2}{(8L+2r)^2} \)

si \( r=L/4 \) queda:

\( \dfrac{64}{121}=1-\dfrac{57}{121} \)

que de nuevo concuerda con tu cálculo.

Saludos.