Autor Tema: Si \(a,b,c\in\Bbb{Z}\), \(a\mid bc\) y \(\gcd(a,c)=1\) decidir cuál es verdadera

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18 Septiembre, 2019, 09:59 am
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manooooh

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Hola!

Marcar la respuesta correcta. Dados los enteros \( a,b,c \), si \( a\mid b\cdot c \) y \( \gcd(a,c)=1 \) entonces:

  • \( \gcd(a,b)=1 \).
  • \( a\mid 2b \).
  • \( a-c=1 \).
  • \( b\mid c \).



Mi respuesta: b).

Si \( a\mid b\cdot c \) entonces por definición de divisiblidad existe \( k\in\Bbb{Z} \) tal que \( bc=ka \). Si \( \gcd(a,c)=1 \) entonces por la identidad de Bèzout existen \( M,N\in\Bbb{Z} \) tales que \( 1=Ma+Nc \).

Multiplicando por \( b \) tenemos: \( b=Mba+Nbc \) y reemplazando, \( b=Mba+Nka \). Sacando factor común, \( b=a(Mb+Nk) \), y multiplicando ambos miembros por \( 2 \) llegamos a \( 2b=a(2Mb+2Nk) \), es decir \( 2b=aL \), con \( L=2Mb+2Nk\in\Bbb{Z} \). Por definición de divisibilidad eso equivale a \( a\mid2b \), como queríamos demostrar.

¿Es correcto?

¿Ustedes hubieran optado por descartar las otras 3 dando un contraejemplo? :P.

Gracias!!
Saludos

18 Septiembre, 2019, 10:14 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola!

Marcar la respuesta correcta. Dados los enteros \( a,b,c \), si \( a\mid b\cdot c \) y \( \gcd(a,c)=1 \) entonces:

  • \( \gcd(a,b)=1 \).
  • \( a\mid 2b \).
  • \( a-c=1 \).
  • \( b\mid c \).



Mi respuesta: b).

Si \( a\mid b\cdot c \) entonces por definición de divisiblidad existe \( k\in\Bbb{Z} \) tal que \( bc=ka \). Si \( \gcd(a,c)=1 \) entonces por la identidad de Bèzout existen \( M,N\in\Bbb{Z} \) tales que \( 1=Ma+Nc \).

Multiplicando por \( b \) tenemos: \( b=Mba+Nbc \) y reemplazando, \( b=Mba+Nka \). Sacando factor común, \( b=a(Mb+Nk) \), y multiplicando ambos miembros por \( 2 \) llegamos a \( 2b=a(2Mb+2Nk) \), es decir \( 2b=aL \), con \( L=2Mb+2Nk\in\Bbb{Z} \). Por definición de divisibilidad eso equivale a \( a\mid2b \), como queríamos demostrar.

¿Es correcto?

Está bien.

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¿Ustedes hubieran optado por descartar las otras 3 dando un contraejemplo? :P.

Si se supone que el enunciado es correcto y que sólo hay una respuesta válida (implícito al hablar de "la" respuesta correcta), puedes dejarla así.

Pero bueno tomado al pie de la letra el enunciado tampoco pide justificar la respuesta y entiendo que si se exige hacerlo.

Como no cuesta demasiado yo por curarme en salud y dejar todo más claro si daría los contraejemplos.

Saludos.

20 Septiembre, 2019, 03:19 am
Respuesta #2

manooooh

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Hola

Muchas gracias, Luis.

Si se supone que el enunciado es correcto y que sólo hay una respuesta válida (implícito al hablar de "la" respuesta correcta), puedes dejarla así.

Pero bueno tomado al pie de la letra el enunciado tampoco pide justificar la respuesta y entiendo que si se exige hacerlo.

Como no cuesta demasiado yo por curarme en salud y dejar todo más claro si daría los contraejemplos.

Efectivamente, el enunciado sólo pide marcar la respuesta correcta. Y justificarla.

Pero estoy de acuerdo con vos en que para demostrar "que sabemos" podemos directamente hacer todo.

Saludos

P.D. Te voy a necesitar, junto a los demás, porque voy a publicar varios de esta misma modalidad. Te/Los espero.