Autor Tema: función inyectiva.

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23 Septiembre, 2019, 04:02 am
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rotse

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Buenas, tengo esta pregunta.

Si \(  f: \mathbb{R}\xrightarrow\,{\mathbb{R}} \) es continua y además una función abierta entonces f es inyectiva.

23 Septiembre, 2019, 10:02 am
Respuesta #1

geómetracat

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Una posible vía es la siguiente. Supón que \( f \) es continua pero no es inyectiva, y vamos a ver que entonces no puede ser abierta. Como no es inyectiva, existen \( a<b \) tal que \( f(a)=f(b) \). Como \( f \) es continua, alcanza su máximo y su mínimo en el intervalo \( [a,b] \) (es decir, existen \( c,c' \in [a,b] \) tales que \( f(c) \leq f(x) \leq f(c') \) para todo \( x \in [a,b] \)).
Usando esto no te debería ser demasiado complicado ver que la imagen del intervalo abierto \( (a,b) \) por \( f \) no puede ser abierta. Piénsalo un poco a ver si te sale.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

25 Septiembre, 2019, 03:28 am
Respuesta #2

rotse

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Hola, gracias por tu respuesta.
Estuve pensando sobre la sugerencia, pero aún no logro encontrar o estar seguro de la respuesta, me imagino que con la sugerencia lo que esperas es que calcule la imagen del intervalo formado por x e y el cual es abierto y cuya imagen es un conjunto unitario el cual no es abierto, pero no estoy seguro. Tengo una pregunta más: ¿aún cuando la función este sobre los reales me puedo restringir a un intervalo?

25 Septiembre, 2019, 10:30 am
Respuesta #3

geómetracat

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Sí. Dependiendo de dónde se alcance el mínimo \( c \) y el máximo \( c' \) de \( f \) en el intervalo \( [a,b] \), las posibilidades para \( f((a,b)) \) son \( [f(c),f(c')] \), \( (f(c), f(c')] \) o \( [f(c),f(c')) \), en cualquier caso no es un intervalo abierto. Básicamente hay que distinguir casos según si el máximo (resp. el mínimo) se alcanza en el interior o en un extremo de \( [a,b] \).

Lo de restringirse a un intervalo es para poder aplicar el teorema de Weierstrass y asegurar que la función alcanza un mínimo y un máximo en ese intervalo. Pero no hay ningún problema, porque para ver que \( f \) no es abierta lo único que debes hacer es encontrar un intervalo abierto cuya imagen no sea abierta, que es lo que hacemos aquí: encontramos un intervalo \( (a,b) \) tal que \( f((a,b)) \) no es abierto. Todo esto funciona perfectamente si \( f \) está definida sobre todos los reales.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

25 Septiembre, 2019, 03:19 pm
Respuesta #4

rotse

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