Autor Tema: Soluciones de la ecuación de grado 2

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21 Septiembre, 2019, 10:51 pm
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Julio_fmat

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Sea \( p>2 \) un primo. Mostrar que la ecuación \( x^2+1=0 \) tiene solución en \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) si y solo si \( p\equiv 1\mod 4. \)

Hola, podemos usar el Teorema de Wilson?
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

23 Septiembre, 2019, 11:15 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Sea \( p>2 \) un primo. Mostrar que la ecuación \( x^2+1=0 \) tiene solución en \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) si y solo si \( p\equiv 1\mod 4. \)

Hola, podemos usar el Teorema de Wilson?

Si. Ten en cuenta que éste afirma:

\( (p-1)!=-1 \) mod \( p \)

Por otra parte \( -k=(p-k) \) mod \( p \). Por tanto:

\( -1=(p-1)!=\displaystyle\prod_{k=1}^{(p-1)/2}(-1)k^2=(-1)^{(p-1)/2}\left(\displaystyle\prod_{k=1}^{(p-1)/2}k\right)^2 \) mod \( p \)

Si \( p=4k+1 \) entonces \( (p-1)/2=2k \) es par y \( (-1)^{(p-1)/2}=1 \).

Saludos.

16 Octubre, 2019, 11:32 pm
Respuesta #2

Julio_fmat

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Hola

Sea \( p>2 \) un primo. Mostrar que la ecuación \( x^2+1=0 \) tiene solución en \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) si y solo si \( p\equiv 1\mod 4. \)

Hola, podemos usar el Teorema de Wilson?

Si. Ten en cuenta que éste afirma:

\( (p-1)!=-1 \) mod \( p \)

Por otra parte \( -k=(p-k) \) mod \( p \). Por tanto:

\( -1=(p-1)!=\displaystyle\prod_{k=1}^{(p-1)/2}(-1)k^2=(-1)^{(p-1)/2}\left(\displaystyle\prod_{k=1}^{(p-1)/2}k\right)^2 \) mod \( p \)

Si \( p=4k+1 \) entonces \( (p-1)/2=2k \) es par y \( (-1)^{(p-1)/2}=1 \).

Saludos.

Muchas Gracias, pero entonces la ecuacion \( x^2+1=0 \) tiene solución en \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \)? No me queda claro...
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17 Octubre, 2019, 08:40 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Muchas Gracias, pero entonces la ecuacion \( x^2+1=0 \) tiene solución en \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \)? No me queda claro...

Julio_fmat: llevo muchos mensajes repitiéndote en que detalles más las dudas, por favor. Me gustaría que indicases explícitamente que entiendes lo que te digo.

En:

\( -1=(p-1)!=\displaystyle\prod_{k=1}^{(p-1)/2}(-1)k^2=\underbrace{(-1)^{(p-1)/2}}_{\textsf{signo}}\left(\color{blue}\displaystyle\prod_{k=1}^{(p-1)/2}k\color{black}\right)^2 \) mod \( p \)

cuando el signo es positivo, tienes un elemento (en azul) cuyo cuadrado es igual a \( -1 \) módulo \( p \).

Saludos.