Autor Tema: Ecuación con clases de restos 2

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

21 Septiembre, 2019, 02:00 pm
Leído 410 veces

Julio_fmat

  • Héroe
  • Mensajes: 2,296
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Fmat
Resolver la siguiente ecuación en los correspondientes \( \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}: \)

\( x^{21}-x=[0]_5. \)

Hola, factorizamos \( x^{21}-x=x(x^{20}-1)=x(x-1)(x^{19}+\cdots +1)=[0]_5 \). ¿Pero \( \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \) es un dominio de integridad?
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

21 Septiembre, 2019, 03:07 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,016
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Resolver la siguiente ecuacion en los correspondientes \( \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}: \)

\( x^{21}-x=[0]_5. \)

Hola, factorizamos \( x^{21}-x=x(x^{20}-1)=x(x-1)(x^{19}+\cdots +1)=[0]_5 \). ¿Pero \( \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \) es un dominio de integridad?

Si, lo es porque \( 5 \) es primo.

En cualquier caso por el Pequeño Teorema de Fermat, si \( x\neq 0 \), \( x^{5-1}=1 \) mod \( 5 \).

Por tanto:

\( x^{21}=x^{4\cdot 5+1}=x \) mod \( 5 \)

¿Conclusión?.

Saludos.

17 Octubre, 2019, 08:36 am
Respuesta #2

Julio_fmat

  • Héroe
  • Mensajes: 2,296
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Fmat
Hola

Resolver la siguiente ecuacion en los correspondientes \( \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}: \)

\( x^{21}-x=[0]_5. \)

Hola, factorizamos \( x^{21}-x=x(x^{20}-1)=x(x-1)(x^{19}+\cdots +1)=[0]_5 \). ¿Pero \( \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \) es un dominio de integridad?

Si, lo es porque \( 5 \) es primo.

En cualquier caso por el Pequeño Teorema de Fermat, si \( x\neq 0 \), \( x^{5-1}=1 \) mod \( 5 \).

Por tanto:

\( x^{21}=x^{4\cdot 5+1}=x \) mod \( 5 \)

¿Conclusión?.

Saludos.

Muchas Gracias, entonces \( x_1=0 \)??
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

17 Octubre, 2019, 09:40 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,016
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Muchas Gracias, entonces \( x_1=0 \)??

Lo que se deduce es que:

\( x^{21}-x=[0]_5 \) equivale a \( x-x=[0]_5 \)

Es decir que la ecuación se cumple para cualquier \( x\in \Bbb Z/5\Bbb Z \).

Saludos.