Autor Tema: Propiedad de primos

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21 Septiembre, 2019, 01:46 pm
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Julio_fmat

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Sea \( p \) un primo tal que \( p| 5^p-2^p. \) Mostrar que \( p=3. \)

Hola, lo desarrolle de la siguiente manera:

\( \begin{eqnarray*}
p| 5^p-2^p &\iff & p| (5-2)(5^{p-1}+5^{p-2}\cdot 2+\cdots +2^{p-1})\\
&\iff & p| 3\cdot (5^{p-1}+5^{p-2}\cdot 2 +\cdots +2^{p-1})\\
&\iff & p|3 \vee p| 5^{p-1}+5^{p-2}\cdot 2 +\cdots +2^{p-1})
\end{eqnarray*}
 \)

Lo ultimo es por el Lema de Euclides, pues \( p \) es primo. Como \( p|3 \), entonces \( 3=pk \) con \( k\in \mathbb{Z}. \) ¿Pero esto ultimo implica que \( p=3 \)?
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

21 Septiembre, 2019, 02:57 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Sea \( p \) un primo tal que \( p| 5^p-2^p. \) Mostrar que \( p=3. \)

Hola, lo desarrolle de la siguiente manera:

\( \begin{eqnarray*}
p| 5^p-2^p &\iff & p| (5-2)(5^{p-1}+5^{p-2}\cdot 2+\cdots +2^{p-1})\\
&\iff & p| 3\cdot (5^{p-1}+5^{p-2}\cdot 2 +\cdots +2^{p-1})\\
&\iff & p|3 \vee p| 5^{p-1}+5^{p-2}\cdot 2 +\cdots +2^{p-1})
\end{eqnarray*}
 \)

Lo ultimo es por el Lema de Euclides, pues \( p \) es primo. Como \( p|3 \), entonces \( 3=pk \) con \( k\in \mathbb{Z}. \) ¿Pero esto ultimo implica que \( p=3 \)?

Ten en cuenta que por el pequeño Teorema de Fermat, \( 5^{p}=5 \) y \( 2^{p}=2 \) mod \( p \).

Por tanto \( 5^p-2^p=5-2=3 \) mod \( p \).

Pero si \( p \) divide a \( 5^p-2^p \) entonces \( 5^p-2^p=0 \) mod \( p \).

Concluye...

Saludos.

11 Noviembre, 2019, 11:51 am
Respuesta #2

feriva

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Hola.

Perdón por la intromisión, pero me gustaría dar mi opinión sobre algo.

Spoiler

La cuestión del hilo plantea mostrar un argumento que asegure que si \( 5^{p}-2^{p}
  \) es múltiplo de “p”, entonces “p” tiene que ser 3 y no otro primo cualquiera (duda que ya ha sido resuelta).

Después aparece esta pregunta referida a los primos:

“¿por qué motivo solo son divisibles por sí mismos y por la unidad?”

La razón de esta última opino que es sencilla: por definición, porque a alguien se le ocurrió distinguir a los números que cumplen eso.

Todos los números naturales mayores que 1 se pueden expresar como sumas de varios unos: 1+1+1... Si prohibimos el sumando 1 para hacer esto (porque así lo elige alguien) todavía podemos expresar algunos números como suma repetida de otro número cualquiera (2+2... ó 3+3 ó 4+4... ó n+n...).

Ocurre que no con todos los números se puede hacer eso. Tenemos, por poner sólo un ejemplo, que con 6 sí se puede: 6=3+3 ó 6=2+2+2. En cambio, con 7, el único número que podemos repetir en la suma es el 1, no hay otro; y con ello ya vemos que, en general, no se puede hacer con todos; luego ahí distinguimos dos conjuntos a partir de que los números cumplan o no cumplan eso.

En mi opinión (respeto otras, por supuesto) esto está en la mente humana, pues arbitrariamente hay que “prohibir” o apartar la suma de los “unos” para que así aparezcan los compuestos (si no, no aparecerían, todos se podrían expresar como suma de varios unos excepto el propio 1, que sería el único primo) y, por contraste, que aparezcan también los primos. Es una regla que tiene que poner alguien que piense cosas, que razone; los primos existen porque antes existe ese alguien o álguienes.

Ahora vamos a algo relacionado con la pregunta principal del hilo para ver la diferencia entre un “invento” o definición y una deducción.

Si tenemos \( a^{p}
  \), con “p” primo y “a” un entero cualquiera, y le restamos la base “a”, o sea, \( a^{p}-a
  \), ocurre que, sea cual sea el entero “a”, se tiene que \( a^{p}-a
  \) va a ser siempre divisible entre “p”, o sea, múltiplo de “p”.

Quien observa esta propiedad por primera vez (o digamos el primero que la difunde) es Fermat; propiedad que él no demuestra, pero ve que no falla hasta donde la prueba (más tarde la demuestran otros). Sin embargo, para observar ésta o cualquier propieda de los primos, primeramente alguien [o varias personas a la vez] tuvo que inventar o definir la propiedad de primo haciendo lo dicho: dándole o no permiso al 1 para expresar números repitiendo sumandos.

Esa propieda, relativa a cuando en la potencia se tiene un primo, ya no es tan invento, se observa, se descubre y después se demuestra. Y, a partir de ahí, con eso, se observan o deducen más cosas; sin ir más lejos, por caso, lo que particularmente supone resolver el problema de la entrada: por el teorema, tendremos \( 5^{p}-5=pa
  \) y \( 2^{p}-2=pb
  \); donde “a” y “b” son enteros. Despejando, \( 5^{p}=pa+5
  \), \( 2^{p}=pb+2
  \); con lo que el enunciado se puede reescribir sustituyendo \( 5^{p}-2^{p}=pa+5-pb-2
  \), es decir, \( 5^{p}-2^{p}=p(a-b)+3
  \)...

En todo esto no se define nada, se opera hasta que se llega a deducir que \( p=3
  \); lo cual está basado primeramente en la "invención" o definición de primo y, en segundo lugar, en esa propiedad que se descubre y después se demuestra (lo que es en sí el Pequeño Teorema de Fermat).
---
*Como todo esto está sólo relacionado de refilón con la pregunta del hilo, creo que no procede contestación ni debate respecto de mi aportación; porque sólo es una opinión que no pretende desdecir otras cosas, en primer lugar, y porque lo que he dicho creo que es bastante obvio y elemental, no da juego para eso.

[cerrar]

Saludos.