Autor Tema: ¿Todo número par se puede expresar como diferencia de dos primos?

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18 Septiembre, 2019, 10:55 am
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feriva

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Hola, Luis.

Veo que la conjetura de Polignac dice que, para cualquier natural “n”, existen infinitas parejas distintas de primos que cumplen  \( p_{2}-p_{1}=2n  \).

¿Sabes si está demostrado esto quitando la exigencia de la infinitud?

Saludos y gracias.

(*Me ha parecido exagerado abrir un hilo nuevo para hacer sólo esta pregunta; pero si te parece mejor ponerla en otro ya lo decides tú).

18 Septiembre, 2019, 11:11 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

(*Me ha parecido exagerado abrir un hilo nuevo para hacer sólo esta pregunta; pero si te parece mejor ponerla en otro ya lo decides tú).

Pues si, me parece mejor un nuevo hilo.  :D ;)

Veo que la conjetura de Polignac dice que, para cualquier natural “n”, existen infinitas parejas distintas de primos que cumplen  \( p_{2}-p_{1}=2n  \).

¿Sabes si está demostrado esto quitando la exigencia de la infinitud?

Por lo que he podido ver es un problema abierto no resuelto todavía. Según dice aquí:

https://primes.utm.edu/notes/conjectures/#Goldbach

lo que está probado es que todo número par puede expresarse como diferencia de un primo y de otro número producto de dos primos.

Saludos.

18 Septiembre, 2019, 11:15 am
Respuesta #2

feriva

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Pues si, me parece mejor un nuevo hilo.  :D ;)


Pues perfectamente :)

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Por lo que he podido ver es un problema abierto no resuelto todavía. Según dice aquí:

https://primes.utm.edu/notes/conjectures/#Goldbach

lo que está probado es que todo número par puede expresarse como diferencia de un primo y de otro número producto de dos primos.

Saludos.

Muchas gracias.

Saludos.

18 Octubre, 2019, 01:30 am
Respuesta #3

Richard R Richard

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Han cambiado la conjetura?

¿Todo número par se puede expresar como diferencia de dos primos?

No es que la conjetura en realidad  se  define como

"Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos."

https://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Goldbach


He estado mirando , que hay muchos hilos en los que se intenta probar estas conjeturas  por el lado de todo \( p_i \), cuando son infinitos,  del mismo modo para todo par "\( 2n \)" que son también infinitos, por ese lado no creo que lleguen nunca a buen puerto.....

Como lo veo, al ser los números primos contablemente infinitos, pasaría algo similar como el poder encontrar el texto cualquier libro codificado en las cifras de un número irracional, es decir siempre, no importa cuan grande sean los números primos vas a encontrar dos cuya, suma o resta sea el número par que buscas, con más razón si la distribución es aleatoria, de hecho si hubiera un par que no se pudiera hallar, implicaría que habría alguna relación de frecuencia entre los números primos , cuando no la hay...o si?

Cuales serían las consecuencias si se prueba verdadera o no la conjetura?
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

18 Octubre, 2019, 09:30 am
Respuesta #4

feriva

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Buenos días, Richard R Richard, gracias por el interés en mi pregunta.

Han cambiado la conjetura?

¿Todo número par se puede expresar como diferencia de dos primos?

No es que la conjetura en realidad  se  define como

"Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos."

https://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Goldbach


He estado mirando , que hay muchos hilos en los que se intenta probar estas conjeturas  por el lado de todo \( p_i \), cuando son infinitos,  del mismo modo para todo par "\( 2n \)" que son también infinitos, por ese lado no creo que lleguen nunca a buen puerto.....

Como lo veo, al ser los números primos contablemente infinitos, pasaría algo similar como el poder encontrar el texto cualquier libro codificado en las cifras de un número irracional, es decir siempre, no importa cuan grande sean los números primos vas a encontrar dos cuya, suma o resta sea el número par que buscas, con más razón si la distribución es aleatoria, de hecho si hubiera un par que no se pudiera hallar, implicaría que habría alguna relación de frecuencia entre los números primos , cuando no la hay...o si?

Cuales serían las consecuencias si se prueba verdadera o no la conjetura?



En realidad,la pregunta era casi retórica, tenía casi la completa seguridad de que tal cosa no estaba demostrada, pero surgió a través de otro hilo (donde otro usuario presenta el desarrollo de una idea)  en el que hice la pregunta; y Luis lo cambió a un hilo individual para que no se mezclaran las cosas, ya que, lo que se planteó en ese otro post fue un largo trabajo sobre la conjetura de Polignac (que sí implica esto, pero va mucho más allá, no es exactamente lo mismo).

La conjetura fuerte de Goldbach es como dices, efectivamente, y, que yo sepa, no se sabe cuál es más fuerte sobre la otra o, dicho de otro modo, no se sabe si alguna de ellas implica la otra, creo que está también por demostrar, aunque no estoy seguro del todo; mi intuición me dice que se implican mutuamente, pero es sólo una opinión.

En cuanto a lo de llegar a buen puerto... pues de momento parece casi imposible por cualquier camino. Los que saben de esto (los Helftgott, Tao y demás) han intentado de todo usando armamento pesado, análisis armónico, con transformadas de Fourier y todo eso; y cuando hablan sobre ello no parecen optimistas. Cuando Helftgott demostró la conjetura débil de Goldbach, en una conferencia le preguntaron que si se iba a poner a intentar la débil; y contestó con un simple y rotundo “no” que parecía decirlo todo sobre lo difícil que se ve todavía.

Por otra parte, la conjetura fuerte de Goldbach da muestras claras de que no se cumple al azar; esto lo he explicado más extensamente en otros hilos que ahora no sabría decirte dónde están. Pero, básicamente, lo que ocurre es que dado un número par más o menos grande y a la vez manejable (en cuanto a hacer verificaciones programando) para ese número existen varias parejas de primos que suman el par, no sólo una, y en la medida que los números son más grandes (yo lo he comprado con Python programando hasta llegar a números pares de seis o siete cifras) la cantidad de parejas aumenta (no aumentan monótonamente, pero sí que se da una clarísima gráfica ascendente en dientes de sierra, por así decir).

Bien, pues, resumidamente, lo que tenemos es lo siguiente:

Todos las parejas de números que pueden sumar un par \( 2n \) (todas las que hay y ya no hay más) están formadas por un número menor que “n” y otro mayor que “n”, de tal manera que tenemos dos intervalos, \( (0,n) \) y  \( (n,2n) \); personalmente los escribo así, con dos intervalos abiertos y, por tanto, sin incluir a “n”, ya que, si “n” es primo, la conjetura se cumple trivialmente; y, si no es primo, no influye en el análisis del resto de las parejas.
Así pues, tenemos necesariamente uno de los primos en \( (0,n) \) y otro \( (n,2n) \), como si fueran dos urnas en las que hay contenidos números de toda clase.

La densidad de primos baja en la medida que los intervalos son más largos (en la media que crece 2n) de manera que también baja la probabilidad de meter la mano en las dos “urnas” y sacar conjuntamente dos primos. Sin embargo, hasta donde se puede comprobar programando, se ve que no sólo se sacan esos dos primos juntos, sino que si metemos las “manos” en la “urnas” hasta agotar todos los números que hay en ellas, cuanto menor es la probabilidad, más parejas sacamos; es decir, se comprueba que se cumple a contrapelo de la probabilidad.

Aquí tengo un largo hilo hablando de cosas de éstas; no esperes encontrar nada maravilloso, sólo soy un mal aficionado :) pero quizá te entretenga mirarlo

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=91205.msg368105#msg368105

Saludos.

18 Octubre, 2019, 09:58 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Han cambiado la conjetura?

¿Todo número par se puede expresar como diferencia de dos primos?

No, no la han cambiado. Si lees con atención el enlace que proporcioné antes, simplemente se menciona lo de la diferencia como otro problema abierto relacionado con la conjetura de Goldbach y similares.

Citar
Como lo veo, al ser los números primos contablemente infinitos, pasaría algo similar como el poder encontrar el texto cualquier libro codificado en las cifras de un número irracional, es decir siempre, no importa cuan grande sean los números primos vas a encontrar dos cuya, suma o resta sea el número par que buscas,

Eso es demasiado vago. Como ejemplo tonto, desde luego no vamos a encontrar dos números primos cuya suma sea cualquier número impar o no vamos a encontrar infinitos primos múltiplos de 5. La secuencia de números primos es una secuencia definida de determinada manera y verificará unas propiedades si y otras no (dejando a un lado la posibilidad de alguna proposición indecidible).

Citar
con más razón si la distribución es aleatoria, de hecho si hubiera un par que no se pudiera hallar, implicaría que habría alguna relación de frecuencia entre los números primos , cuando no la hay...o si?

Decir que es aleatoria es otra vaguedad a no ser que se de un significado preciso a ese término. Repito lo mismo: el conjunto de números primos está perfectamente definido. Se conoce un montón de cosas sobre él, por ejemplo (por decir algo) una fórmula explícita para obtener en enésimo número primo ó muchas aproximaciones del comportamiento asintótico del número de primos en cierto intervalo.

Citar
Cuales serían las consecuencias si se prueba verdadera o no la conjetura?

Para ser sincero, más allá de su interés intrínseco, no lo se.

Saludos.

19 Octubre, 2019, 12:38 am
Respuesta #6

Richard R Richard

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Hola, Luis, hoy por la mañana cuando leí tu respuesta, estaba escaso de tiempo para seguir los enlaces...

Mas tarde me puse a pensar en la definición de número primo que ponen aquí en el foro http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=34174.0

Pensé que la resta es la extensión de la conjetura desde los naturales \( \mathbb N \) (que es el dominio donde yo creía estaba definida) a los enteros \( \mathbb Z \) donde es necesario también probar la conjetura para los primos negativos...

Respecto de la vaguedad o ambigüedad,  es claro que es una opinión al paso, que lo certero y justo, sería escribir demostrando o al menos haciendo el intento... creo que no es el caso, me refería de forma más general y abierta posible sobre el tema.
Los contraejemplos que pones son fáciles de entender , ej tampoco encontrarás muchos primos , múltiplos de 7 , etc, al poner la propia definición restas grados de libertad, para escoger valores, luego es posible hallar contraejemplos, pero creo que esto no sucede con la conjetura Goldbach, aunque es más difícil encontrar dos elementos que sumados den un número par, que dos que se resten, sobre todo si estábamos en los naturales como creía.

Repito lo mismo: el conjunto de números primos está perfectamente definido. Se conoce un montón de cosas sobre él, por ejemplo (por decir algo) una fórmula explícita para obtener en enésimo número primo
En particular lo que resalto en negritas, el mismo enlace marca, aunque ni siquiera tengo que aclararte, que no hay una fórmula general para obtener todos los elementos que componen el conjunto de los números primos, si hay metodos como la criba, pero no es una única fórmula, puedes saber  que el enésimo primo es \( p_n \) y luego inventarte una función que cuando le pongas te devuelva \( p_n \), pero no hay formula que abarque los naturales, mas, que la consulta por referencia a una tabla... de esto rescato que hay métodos que son muy útiles, pero no se pueden usar para todo \( n \)... para mi que miro las mates por fuera, algunas de estas cosas se me hacen innecesarias... y respecto a eso apuntaba con mi ultima pregunta

Gracias de nuevo
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

19 Octubre, 2019, 09:48 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

En particular lo que resalto en negritas, el mismo enlace marca, aunque ni siquiera tengo que aclararte, que no hay una fórmula general para obtener todos los elementos que componen el conjunto de los números primos, si hay metodos como la criba, pero no es una única fórmula, puedes saber  que el enésimo primo es \( p_n \) y luego inventarte una función que cuando le pongas te devuelva \( p_n \), pero no hay formula que abarque los naturales, mas, que la consulta por referencia a una tabla... de esto rescato que hay métodos que son muy útiles, pero no se pueden usar para todo \( n \)... para mi que miro las mates por fuera, algunas de estas cosas se me hacen innecesarias... y respecto a eso apuntaba con mi ultima pregunta

¡No! Vuelvo a repetirlo SI hay una fórmula que da el enésimo numero primo; lo que dice el enlace es que esas fórmulas son computacionalmente ineficientes (básicamente: muy lentas, hay que hacer muchas operaciones para evaluarlas), pero eso es otra cuestión. Aquí tienes otro ejemplo de tal fórmula:

https://math.stackexchange.com/questions/1201359/who-discovered-the-first-explicit-formula-for-the-n-th-prime

Saludos.

19 Octubre, 2019, 11:31 am
Respuesta #8

feriva

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Pensé que la resta es la extensión de la conjetura desde los naturales \( \mathbb N \) (que es el dominio donde yo creía estaba definida) a los enteros \( \mathbb Z \) donde es necesario también probar la conjetura para los primos negativos...


La extensión a todos los números enteros, con un ejemplo para acabar antes, sería considerar también esto: \( -3+(-5)=-8
  \). Pero no surge nada nuevo a considerar.

Según el enlace de Wikipedia que has puesto (no sé ahora cuál era el original de Goldbach, pero imagino que muy parecido) lo que se dice es esto: “Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos”. Antes de nada ya vemos que lo que es el par en sí ha de ser positivo por que a eso obliga el enunciado. Ahora supongamos que no existiera la posibilidad de expresar algún par positivo como suma de un primo positivo mayor que otro negativo en valor absoluto; pero que sí se pudiera expresar como suma de dos primos positivos. En ese caso la conjetura se cumple para dicho para y la primera consideración no influye en nada. En caso de que tampoco se pudiera expresar como suma de dos primos positivos, la conjetura sería falsa, pero tampoco influiría en nada la primera consideración, sería falsa y ya está. Luego no es necesario, a raíz del enunciado, considerar números negativos.

Pero sí que es cierto que, si se consideran números enteros, el enunciado debería aclarar que se trata de enteros positivos, ya que en principio podría existir la suma un de positivo y un negativo que diera un par positivo y no existir la suma de dos positivos, en cuyo caso la conjetura si se cumpliría para ese par. No obstante, no hay duda, se sobreentiende, porque Goldbach vive en el siglo XVIII y todavía no existe la teoría de conjuntos, los enunciados de la época no hablan de enteros en ese sentido, se entienden positivos y el signo menos como un signo de operación. 

Saludos,


19 Octubre, 2019, 07:58 pm
Respuesta #9

Richard R Richard

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Gracias a ambos por la paciencia y la didáctica,

En el enlace https://math.stackexchange.com/questions/1201359/who-discovered-the-first-explicit-formula-for-the-n-th-prime  que me lleva a wolfram y este provee la formula

\( p_{100000 }= 1 + \sum_{(k=1)}^{(2^{100000})} \lfloor(10^{(3/50000)} (1/(1 + \pi(k)))^(1/100000)) \)

No quisiera ser terco, pero la verdad es que hay términos que no los entiendo.... que es floor(piso) en español y que es pi(k)... si esto es una fórmula de recurrencia pues entonces es un método (algoritmo) no una fórmula, al estilo de la criba, pues habría una fórmula para cada primo y no una única fórmula general, para todo el dominio de los naturales,(que es lo que entiendo por formula de una función) o debo entender que ese algoritmo es la formula? Es decir para mi \( f(n)=p_n \) donde \( D=\mathbb N \) y pero esta es una  \( f(n,\pi(k))=p_n \)  donde \( f \) esta definida para un único \( n \) y \( \pi(k) \), o bien no entiendo de que va la formula, que probablemente sea eso. He intentado comparar, si ha eso se refieren con evaluar (o bien dividir por todos los primos menores hasta raíz de p), coincido  hasta cerca de los \( n=380000 \)  con mi criba ejemplo \( \pi(100000)= 1299709  \), no tengo porque tener bien la criba, pero que esta fórmula difiera de la mía en una unidad luego de los 380000 primos correctos, es raro, ya que para estar mal mi método no se va a tardar tanto el error en presentarse...(ellos tienen uno de menos o yo uno de más.)  \( \pi(1000000)=15485863   \) en wolfram  y \( \pi(1000000)=15485857   \) con mi criba.






Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

19 Octubre, 2019, 08:24 pm
Respuesta #10

feriva

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No quisiera ser terco, pero la verdad es que hay términos que no los entiendo.... que es floor(piso) en español



Hola.

floor es la función piso (sí, así tal cual se la llama en español, o suelo también) que quiere decir que de un número no entero real tomas la parte entera despreciando la mantisa. En cuanto a lo otro ya te contesta Luis mejor. (estaba mal dicho "no entero", porque a un número entero también se le puede aplicar la función, su parte entera es el propio número))

Saludos.

20 Octubre, 2019, 10:38 am
Respuesta #11

Luis Fuentes

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Hola

Gracias a ambos por la paciencia y la didáctica,

En el enlace https://math.stackexchange.com/questions/1201359/who-discovered-the-first-explicit-formula-for-the-n-th-prime  que me lleva a wolfram y este provee la formula

\( p_{100000 }= 1 + \sum_{(k=1)}^{(2^{100000})} \lfloor(10^{(3/50000)} (1/(1 + \pi(k)))^(1/100000)) \)

No quisiera ser terco, pero la verdad es que hay términos que no los entiendo.... que es floor(piso) en español y que es pi(k)... si esto es una fórmula de recurrencia pues entonces es un método (algoritmo) no una fórmula, al estilo de la criba, pues habría una fórmula para cada primo y no una única fórmula general, para todo el dominio de los naturales,(que es lo que entiendo por formula de una función) o debo entender que ese algoritmo es la formula? Es decir para mi \( f(n)=p_n \) donde \( D=\mathbb N \) y pero esta es una  \( f(n,\pi(k))=p_n \)  donde \( f \) esta definida para un único \( n \) y \( \pi(k) \), o bien no entiendo de que va la formula, que probablemente sea eso.

¡Es qué no me refería a esa fórmula sino a la que aparece directamente a la vista en el enlace que te proporcioné!. Escrita directamente para ser implementada en Mathematica es:

Código: [Seleccionar]
f[n_] := Sum[m*Floor[1/(1 + Abs[n - Floor[
        1/Sum[Floor[i*
              Floor[m/i]/m], {
                  i, 1, m - 1}]]*
                        Sum[Floor[1/Sum[Floor[i*
                              Floor[k/i]/k], {i, 1, k - 1}]], {k, 2,
                            m}]])], {m, 2, 2^n}]

y lo único que utiliza es la función parte entera (floor). Es una fórmula con todas las de la "ley". Otra cosa es que sea muy lenta. Si te fijas el sumatorio exterior ya es del orden de \( 2^n \). Es decir por ejemplo sólo para \( n=10 \) (el décimo primo) ya tiene que evaluar \( 1024 \) sumandos cada uno de los cuales a su vez son sumatorios.

Saludos.

20 Octubre, 2019, 10:26 pm
Respuesta #12

Richard R Richard

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26 Mayo, 2020, 03:36 pm
Respuesta #13

Víctor Luis

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Buenas a Todos ...

   En realidad, hasta hoy, podemos teorizar y conjeturar criterios, desde que:
   Siendo 'm'=(p*q) con (p,q) primos, desde 'm' (su estructura) determinamos a sus divisores (p,q) unicos y especificos, y ademas de los subsiguientes compuestos impares de P y Q

   Ahora si llegamos a saber y/o 'Comprender' la estructura de los 'n' compuestos multiplos de (p) y (q) ...  entre (p) y los subsiguientes (qn) tendremos naturales immpares, no multiplos de 3, los que seran Naturales Primos dados secuencialmente.

* Hay mucho mas por analizar y descubrir ...


Saludos Cordiales ...