[GMat]

Saludos. Me gustaría que me ayudaran con el siguiente problema:

Sea \( f:[a,b]\rightarrow[0,+\infty) \) continua. Si \( \underset{n\rightarrow+\infty}{\textrm{Lim}}\int_a^b{(f(x))}^ndx=L\in\mathbb{R} \), ¿es cierto entonces que \( f(x)\leq{1} \) para todo \( x\in[0,1] \)?

De ser cierto ¿Como podría probarlo? y si es falso, ¿Cual seria el contra-ejemplo?

[Masacroso]

Saludos. Me gustaría que me ayudaran con el siguiente problema:

Sea \( f:[a,b]\rightarrow[0,+\infty) \) continua. Si \( \underset{n\rightarrow+\infty}{\textrm{Lim}}\int_a^b{(f(x))}^ndx=L\in\mathbb{R} \), ¿es cierto entonces que \( f(x)\leq{1} \) para todo \( x\in[0,1] \)?

De ser cierto ¿Como podría probarlo? y si es falso, ¿Cual seria el contra-ejemplo?

Creo que querías decir que \( x \in [a,b] \). La propuesta es verdadera, observa que si existiese un \( x_0\in [a,b] \) tal que \( |f(x_0)|>1 \) entonces existe un entorno cerrado \( [c,d]\subset [a,b] \) (con \( c<d \)) de \( x_0 \) tal que \( |f(x)|{\color{red}{\geqslant }} 1 \) para todo \( x\in[c,d] \), lo que implicaría que el límite tiende a infinito.

Te queda poner los detalles.

CORREGIDO.

[Juan Pablo Sancho]

Otra forma de verlo (lo mismo en esencia), es que existe el límite \( \displaystyle \int_a^b (f(x))^n \ dx  \) también existe \( \displaystyle \lim_{p \to +\infty} \int_a^b (f(x))^{2p} \ dx = \lim_{p \to +\infty} \int_a^b (g(x))^p \ dx  \)
Donde \( g(x) = (f(x)^2) \).