Autor Tema: convergencia uniforme.

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13 Septiembre, 2019, 08:36 pm
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rotse

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Buenas, tengo una pregunta:

si \( f: \mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} \)  uniformemente continua entonces existen constantes c y r tal que \(  \left | f(x) \right |\leq{c\left | x \right |+r}  \).

¿Es cierto el reciproco? demuestre o halle un contraejemplo.

13 Septiembre, 2019, 09:30 pm
Respuesta #1

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Buenas, tengo una pregunta:

si \( f: \mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) converge uniformemente entonces existen constantes c y r tal que \(  \left | f(x) \right |\leq{c\left | x \right |+r}  \).

¿Es cierto el reciproco? demuestre o halle un contraejemplo.

¿Qué significa que una función "converja uniformemente"? ¿No será más bien que es uniformemente continua?

13 Septiembre, 2019, 09:58 pm
Respuesta #2

rotse

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Perdón, si es uniformemente continua.

13 Septiembre, 2019, 11:29 pm
Respuesta #3

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Perdón, si es uniformemente continua.

Usa la definición de continuidad uniforme, una pista: existe un \( \delta >0 \) tal que

\( \displaystyle{
|x|<\delta\implies |f(x)-f(0)|<1
} \)

y observa que siempre se cumple que \( |a|-|b|\leqslant |a-b| \).

14 Septiembre, 2019, 12:48 am
Respuesta #4

rotse

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Me imagino que eso es para probar la implicación, pero esa implicación ya la hice, no sé es como verificar el reciproco.

14 Septiembre, 2019, 01:03 am
Respuesta #5

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Me imagino que eso es para probar la implicación, pero esa implicación ya la hice, no sé es como verificar el contrareciproco.

El recíproco no es cierto ya que la desigualdad \( |f(x)|\leqslant  c|x|+r \) no implica que \( f \) sea continua, por ejemplo la función \( f(x):=\lfloor x \rfloor \) lo cumple pero no es continua.

14 Septiembre, 2019, 03:37 am
Respuesta #6

rotse

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15 Septiembre, 2019, 05:21 am
Respuesta #7

GMat

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Saludos, una pregunta. Es claro para según lo que vi en este post que \( |f(x)|<1+|f(0)| \), ahora, ¿como tendría que escoger \( a \) para que se cumpla \( \left | f(x) \right |\leq{c\left | x \right |+r} \)?

15 Septiembre, 2019, 09:35 am
Respuesta #8

Masacroso

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Saludos, una pregunta. Es claro para según lo que vi en este post que \( |f(x)|<1+|f(0)| \), ahora, ¿como tendría que escoger \( a \) para que se cumpla \( \left | f(x) \right |\leq{c\left | x \right |+r} \)?

Mira aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/691143/show-that-there-are-a-b-geq-0-so-that-fx-leq-axb-forall-x-geq-0

Si no entiendes algo pregunta (me da pereza repetir un argumento semejante :P)