Autor Tema: Cuadratura del círculo

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11 Septiembre, 2019, 07:50 pm
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sedeort

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Hola. Hace poco me llegó este curioso GIF.
Alguien se atreve a calcular la función matemática de la curva de ese objeto. Y bajo qué ángulos se debe observar para conseguir esa ilusión visual.

Creéis que esta "obra de museo" ha sido diseñada por un matemático que previamente ha calculado lo que pido yo aquí?

Es posible crear este mismo efecto a partir de un "triángulo" en vez de un cuadrado?

12 Septiembre, 2019, 04:21 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola. Hace poco me llegó este curioso GIF.
Alguien se atreve a calcular la función matemática de la curva de ese objeto. Y bajo qué ángulos se debe observar para conseguir esa ilusión visual.

Creéis que esta "obra de museo" ha sido diseñada por un matemático que previamente ha calculado lo que pido yo aquí?

Es posible crear este mismo efecto a partir de un "triángulo" en vez de un cuadrado?


¡Muy ingenioso! Afortunadamente el objeto tiene varias simetrías así que en principio no parece muy difícil de dar una parametrización junto con los puntos desde los que debe observarse y su tamaño relativo.

Yo creo que sí, que un matemático participó en el diseño, o bien el artista fue probando moldes hasta dar con algo suficientemente bueno.

Con un triángulo se puede aproximar un efecto similar aunque, a diferencia de la forma "cuadrada", debido a nuestra visión, me parece que no podría construirse una forma "perfecta", o si se pudiese, dos de las curvas del objeto serían algo raras. Todo es ponerse y probar.

Si tengo tiempo (y ganas) intento crear una parametrización de lo del gif.

12 Septiembre, 2019, 02:57 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 Es la ilusión óptica conocida como "Ambigous Cylinder Illusion". Puedes encontrar muchas versiones e información sobre ella en internet.

 En particular tienes su parametrización en el siguiente archivo de GeoGebra (autor David Richeson).


 Haciendo coincidir o bien los puntos rojos, o bien los puntos azules, tendrá la pinta de un círculo o de un cuadrado.

Saludos.

13 Septiembre, 2019, 09:08 pm
Respuesta #3

sedeort

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Éstas son mis conclusiones hasta el momento sobre esta ilusión visual de "cuadrado" que se transforma en "circunferencia".
Espero que sean correctas y que alguien me las confirme... o desmienta.

La figura compleja que se ve consta de 4 arcos planos e iguales que se cortan en los vértices del cuadrado, el cuál está inscrito en la circunferencia (la relación entre el lado y el radio es   \( l/r=\sqrt[ ]{2} \))

Sea \( d_1 \) la distancia del punto \( P_1 \) con perspectiva cuadrada, posición inicial del observador en el gif, al centro del cuadrado.
Sea \( d_2 \) la distancia del punto \( P_2 \) con perspectiva circular, posición final del observador en el gif, al centro del cuadrado.
Estos dos puntos se encuentran en el eje del cuadrado.

Pues bien, cada uno de los arcos de la figura compleja es una curva cónica ya que surgen de la intersección de un plano y una superficie cónica.
El plano sería el que pasa por los puntos \( P_1 \) y dos vértices vecinos del cuadrado.
La superficie cónica tendría como vertice \( P_2 \) y contiene a la propia circunferencia.

El tipo de curva cónica depende sólo de la razón entre \( d_2 \) y \( d_1 \).
Si \( \displaystyle\frac{d_2}{d_1}=\sqrt[ ]{2} \) es un arco de parábola
Si \( \displaystyle\frac{d_2}{d_1}>\sqrt[ ]{2} \) es un arco de elipse
Si \( \displaystyle\frac{d_2}{d_1}<\sqrt[ ]{2} \) es un arco de hipérbola

Casos extremos.
Si \( d_1=0 \) el arco es de circunferencia (90º). La figura compleja sería una simple circunferencia.
Si \( d_2=0  \) el arco degenera en un segmento recto (un lado del cuadrado). La figura compleja sería un simple cuadrado.

P.D. Como dijo Masacroso, si tengo tiempo (y ganas) jeje, intentaré sacar la ecuación de la parábola que me parece el caso más sugerente.

13 Septiembre, 2019, 09:53 pm
Respuesta #4

martiniano

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Hola.

Creo que para concebir este tipo de obras puede ser útil, más que una parametrización de la curva que representan, considerar dos cilindros (generalizados) que se corten en la misma. En este caso un cilindro de revolución y un prisma de base cuadrada, tal vez de ejes perpendiculares. Si se hiciese con otros tipos de cilindros, por ejemplo substituyendo el prisma de base cuadrada por uno de base triangular equilátera se conseguiría el efecto que dice sedeort.

También es importante la posición relativa de los cilindros, que debe ser tal que una generatriz cualquiera de uno de los cilindros debe ser cortada por al menos una del otro cilindro. Recuerdo que a esta posición de los cilindros se la llamaba (o así lo hacía un profesor mío, de manera formal) doble penetración.  :)

Un saludo.

14 Septiembre, 2019, 05:22 pm
Respuesta #5

martiniano

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Hola.

Sedeort: En un principio no había entendido bien tu mensaje anterior. Dándole vueltas "lo he pillado"  y estoy de acuerdo contigo en que no hace falta considerar que los puntos de vista esté en el infinito. De hecho, esto permite, tal y como dices concebir la figura como una intersección de un cono con cuatro planos. Cuadra todo muy bien. Por cierto, también pienso que lo que mejor queda para esas cuatro curvas son parábolas, ya que eso permite que la escultura quede a la misma distancia de los dos puntos de vista.

Un saludo.

15 Septiembre, 2019, 01:52 pm
Respuesta #6

sedeort

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Exacto, martiniano.
Las vistas son desde un punto, proyección cónica creo que se llama.
Visto desde el infinito, proyección paralela o cilíndrica, es imposible este efecto visual ya que la perspectiva sería la misma desde ambos lados.

16 Septiembre, 2019, 11:32 am
Respuesta #7

martiniano

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Hola.

Visto desde el infinito, proyección paralela o cilíndrica, es imposible este efecto visual ya que la perspectiva sería la misma desde ambos lados.

Sí claro, no es posible si las dos visuales son paralelas. Pero se podría conseguir algo parecido si las dos visuales no fuesen paralelas, como sucede en la construcción en Geogebra que ha adjuntado Luis un poco más arriba,

Un saludo.

16 Septiembre, 2019, 06:05 pm
Respuesta #8

sedeort

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Creo que he resuelto el caso que más me atraía y era aquel en el que el arco es una parábola, resultado de la intersección del plano y el cono de las proyecciones visuales desde \( P_1 \) y \( P_2 \), respectivamente. Como dije en un post anterior para que sea así se debe cumplir \( d_2=\sqrt[ ]{2}d_1 \)

Escogí un sistema de referencia con origen en el centro del cuadrado, eje +Z hacia \( P_1 \) y eje +X vertical hacia arriba.
Y me he centrado en calcular la posición \( V_p \) del vértice parabólico del arco superior.
Calculé la ecuación del plano que pasa por \( P_1 \) y los dos vertices superiores del cuadrado. \( V_1=(+l/2, -l/2, 0) \)      \( V_2=(+l/2, +l/2, 0) \).
Me sale     \( d_1x + \displaystyle\frac{l}{2}(z-d_1) = 0 \)

La ecuación del cono con vértice en \( P_2 \) y que contiene a la circunferencia será 
 \( x^2 + y^2 = \displaystyle\frac{l^2}{2d_2^2}(z + d_2)^2 \)

La ecuación de la recta generatriz más superior del cono, que pasa por \( P_2 \) y por el punto superior de la circunferencia será \( \displaystyle\frac{x}{l / \sqrt[ ]{2}} = \displaystyle\frac{z + d_2}{d_2} \)

El vértice de la parábola será el punto de corte de esta generatriz y el plano de visión desde \( P_1 \) anterior. Resolviendo:
\( V_p = (\displaystyle\frac{l}{2}(\displaystyle\frac{1 + \sqrt[ ]{2}}{2}), 0, -\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}-1}{2}d_1) \)

Y por último, queda más intuitivo referir el vértice de la parábola al lado superior del cuadrado.
La distancia del vértice parabólico a dicho lado es  \( d = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3-2\sqrt[ ]{2}}}{4}\sqrt[ ]{l^2+4 d_1^2} \).
A esa distancia las ramas simétricas de la parábola se abren justo para coincidir con los vértices superiores del cuadrado de lado \( l \).
Y la pendiente de inclinación del plano de esa parábola respecto al eje horizontal Z será  \( m = \displaystyle\frac{l}{2d_1} \)

P.D. La animación, supongo que será eso, de Luis Fuentes nunca llegué a hacerla funcionar y no sé exactamente cómo de útil puede ser.

17 Septiembre, 2019, 10:19 am
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

P.D. La animación, supongo que será eso, de Luis Fuentes nunca llegué a hacerla funcionar y no sé exactamente cómo de útil puede ser.

Es una representacion 3D de la curva donde puedes girar el punto de vista además de ver la fórmula que la define.
¿No ves nada? ¿Qué navegador usas?.

Saludos.