Autor Tema: ¿Es el conjunto de proposiciones lógicas con la conjunción un par estudiado?

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09 Septiembre, 2019, 07:39 am
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manooooh

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Hola!

Repasando un poco teoría de estructuras algebraicas (me acabo de inventar lo de "teoría" :laugh:) me topé con una pregunta muy interesante para mí:

¿Hasta qué nivel de estructura llega el par \( (A,\wedge) \), con \( \varnothing\neq A=\{p\mid\text{\(p\) es una proposición lógica}\} \) y \( \wedge \) es la conjunción habitual?

Claramente es un grupoide, puesto que la operación \( \wedge \) es cerrada (la conjunción de 2 proposiciones es otra proposición).

Además es semigrupo puesto que es asociativa (por definición de conjunción lógica).

Y además es monoide, puesto que existe \( \mathrm{V}\in A \) tal que para toda \( p\in A \), se tiene que \( p\wedge\mathrm{V}=\mathrm{V}\wedge p=p \), en cuyo caso es \( e=\mathrm{V} \) (donde \( \mathrm{V} \) representa la proposición lógica cuyo único valor de verdad es verdadero, o sea es una tautología). También \( (A,\wedge) \) es un monoide abeliano puesto que si \( p,q\in A \) entonces \( p\wedge q=q\wedge p \) (por definición de conjunción lógica).

Sin embargo, no es grupo ya que NO existe simétrico (\( \neg p \) no puede ser ya que \( p\wedge\neg p=\mathrm{F}\neq e \), ni tampoco \( \mathrm{F} \) puesto que \( p\wedge\mathrm{F}=\mathrm{F}\neq e \) para toda \( p\in A \)).



¿Interesante, no? ::) A mi me gustó mucho estudiar estas propiedades, sobretodo porque no las he visto aplicadas a este conjunto y a esta operación en particular en ningún libro (¿ustedes sí?).

Mis preguntas:

  • ¿Es conocido este monoide? ¿Dónde puedo encontrar más info al respecto?
  • Si no es conocido, ¿qué propiedades interesantes pueden concluir con esta estructura? ¿Podríamos hallar el "monoide cociente", o alguna relación de equivalencia asociada a éste? ¿Existe una teoría que sucede a este monoide?

Si encuentran propiedades interesantes pueden compartirlas.

Gracias!!
Saludos

09 Septiembre, 2019, 10:52 am
Respuesta #1

geómetracat

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Es lo que se llama un semirretículo inferior (en inglés lower semilattice o meet-semilattice). Sus propiedades son las que has dicho (asociativa, conmutativa) y además idempotencia: \( p \wedge p = p \) para toda \( p \). Como además tiene elemento neutro, se dice que el semiretículo es acotado.

Esta estructura, que es puramente algebraica, es completamente equivalente a dar una relación de orden (parcial) \( \leq \) en el conjunto de las proposiciones donde dos elementos cualesquiera tengan ínfimo (esto corresponde a la parte de semirretículo inferior) y que tenga elemento máximo (esto corresponde a ser acotado).

En efecto, si \( (A,\wedge) \) es un semirretículo inferior, entonces puedes definir una relación en \( A \) así:
\( p \leq q \iff p\wedge q = p \),
y puedes comprobar que es una relación de orden y que el ínfimo de dos elementos \( p,q \) existe y es \( p \wedge q \) (y que \( V \) es el elemento máximo para este orden, en tu caso).
Recíprocamente, si tienes un conjunto ordenado \( (A, \leq) \) en que cada par de elementos tiene ínfimo, puedes definir \( p \wedge q \) como el ínfimo de \( p \)  y \( q \), y comprobar que \( (A, \wedge) \) es un semiretículo inferior. Si además el orden tiene máximo, éste es el neutro para \( \leq \).
 
La interpretación lógica del orden asociado a \( \wedge \), en el caso en que \( A \) es el conjunto de proposiciones y \( \wedge \) la conjunción, es que la relación \( \leq \) es la implicación. Es decir, \( p \leq q \) quiere decir que si \( p \) es verdadero, entonces \( q \) también lo es (que es lo mismo que decir que \( p \to q \) es verdadero).

Por supuesto, también hay semirretículos superiores (que desde el punto de vista algebraica son lo mismo: un conjunto con una operación \( \vee \) asociativa, conmutativa e idempotente, pero desde el punto de vista del orden ahora piensas \( p \vee q \) como el supremo de \( p \) y \( q \)). En lógica, el conjunto de las proposiciones con la disyunción forman un semirretículo superior. Y si consideras ambas a la vez, conjunción y disyunción obtienes una estructura que se llama retículo, que algebraicamente son dos semirretículos junto con las leyes de absorción \( p \vee (p \wedge q) = p \) y \( p \wedge (p \vee q)=p \). Desde el punto de vista del orden, un retículo es un conjunto parcialmente ordenado donde cada par de elementos tiene supremo e ínfimo. Y de aquí puedes definir más estructuras: álgebra de Heyting (que te da la lógica proposicional intuicionista) y álgebra de Boole (la lógica proposicional clásica al completo), pero esto ya es otra historia.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

09 Septiembre, 2019, 04:16 pm
Respuesta #2

manooooh

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Hola geómetracat!

Es lo que se llama un semirretículo inferior (en inglés lower semilattice o meet-semilattice). Sus propiedades son las que has dicho (asociativa, conmutativa) y además idempotencia: \( p \wedge p = p \) para toda \( p \). Como además tiene elemento neutro, se dice que el semiretículo es acotado.

Esta estructura, que es puramente algebraica, es completamente equivalente a dar una relación de orden (parcial) \( \leq \) en el conjunto de las proposiciones donde dos elementos cualesquiera tengan ínfimo (esto corresponde a la parte de semirretículo inferior) y que tenga elemento máximo (esto corresponde a ser acotado).

En efecto, si \( (A,\wedge) \) es un semirretículo inferior, entonces puedes definir una relación en \( A \) así:
\( p \leq q \iff p\wedge q = p \),
y puedes comprobar que es una relación de orden y que el ínfimo de dos elementos \( p,q \) existe y es \( p \wedge q \) (y que \( V \) es el elemento máximo para este orden, en tu caso).
Recíprocamente, si tienes un conjunto ordenado \( (A, \leq) \) en que cada par de elementos tiene ínfimo, puedes definir \( p \wedge q \) como el ínfimo de \( p \)  y \( q \), y comprobar que \( (A, \wedge) \) es un semiretículo inferior. Si además el orden tiene máximo, éste es el neutro para \( \leq \).
 
La interpretación lógica del orden asociado a \( \wedge \), en el caso en que \( A \) es el conjunto de proposiciones y \( \wedge \) la conjunción, es que la relación \( \leq \) es la implicación. Es decir, \( p \leq q \) quiere decir que si \( p \) es verdadero, entonces \( q \) también lo es (que es lo mismo que decir que \( p \to q \) es verdadero).

Por supuesto, también hay semirretículos superiores (que desde el punto de vista algebraica son lo mismo: un conjunto con una operación \( \vee \) asociativa, conmutativa e idempotente, pero desde el punto de vista del orden ahora piensas \( p \vee q \) como el supremo de \( p \) y \( q \)). En lógica, el conjunto de las proposiciones con la disyunción forman un semirretículo superior. Y si consideras ambas a la vez, conjunción y disyunción obtienes una estructura que se llama retículo, que algebraicamente son dos semirretículos junto con las leyes de absorción \( p \vee (p \wedge q) = p \) y \( p \wedge (p \vee q)=p \). Desde el punto de vista del orden, un retículo es un conjunto parcialmente ordenado donde cada par de elementos tiene supremo e ínfimo. Y de aquí puedes definir más estructuras: álgebra de Heyting (que te da la lógica proposicional intuicionista) y álgebra de Boole (la lógica proposicional clásica al completo), pero esto ya es otra historia.

Wow... qué forma interesante de exposición has presentado :aplauso:.

Sí, tenía conocimiento de lo que es una red algebraica (de hecho he preguntado varias veces en el rincón sobre temas inherentes a éste), ¡pero jamás se me había ocurrido asociarlo con el conjunto de proposiciones lógicas!

De hecho todo esto me lo sé, y creo que el libro donde me baso tiene exactamente las mismas definiciones y propiedades que mencionás:


(hay muchas más páginas en ese libro sobre redes pero no quiero aburrirte porque ya lo sabés todo :laugh:. Si querés puedo enviártelo, por si te interesa leer más).



Sí que es cierto que la frase:

La interpretación lógica del orden asociado a \( \wedge \), en el caso en que \( A \) es el conjunto de proposiciones y \( \wedge \) la conjunción, es que la relación \( \leq \) es la implicación. Es decir, \( p \leq q \) quiere decir que si \( p \) es verdadero, entonces \( q \) también lo es (que es lo mismo que decir que \( p \to q \) es verdadero).

no la he entendido mucho. ¿Cómo de \( p\wedge q=p \) podemos deducir \( p\to q \)? ¿Es decir que si \( (A,\wedge) \) dada por \( p\leq q\leftrightarrow p\wedge q=p \) entonces \( (A,\wedge)\cong(A,\to) \)? Me explota la cabeza :o.



De todas formas no creo entender mucho. Hablás sobre relaciones de orden, que algo recuerdo haber estudiado, pero ni siquiera entiendo tu interpretación porque por ejemplo si \( p=\text{Hoy es lunes} \) y \( q=\text{Mi nombre es geómetracat} \) luego ¿cómo podríamos armar el diagrama de Hasse si aparentemente no tienen ninguna relación la \( p \) y \( q \)? Es como mezclar peras con manzanas. En cambio sí que le veo sentido tener un orden con \( \Bbb{N} \), o en \( P(A) \), pero no con proposiciones que pueden representar cualquier sentencia con un valor de verdad. Las demostraciones avalan que sí hay un orden pero yo no lo veo.

Saludos

09 Septiembre, 2019, 07:26 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Sí, tenía conocimiento de lo que es una red algebraica (de hecho he preguntado varias veces en el rincón sobre temas inherentes a éste), ¡pero jamás se me había ocurrido asociarlo con el conjunto de proposiciones lógicas!

De hecho todo esto me lo sé, y creo que el libro donde me baso tiene exactamente las mismas definiciones y propiedades que mencionás:

(hay muchas más páginas en ese libro sobre redes pero no quiero aburrirte porque ya lo sabés todo :laugh:. Si querés puedo enviártelo, por si te interesa leer más).

Pues no soy ningún experto en retículos ni mucho menos, solamente sé las cosas básicas. Dime qué libro es, si no te importa.

Citar
Sí que es cierto que la frase:

La interpretación lógica del orden asociado a \( \wedge \), en el caso en que \( A \) es el conjunto de proposiciones y \( \wedge \) la conjunción, es que la relación \( \leq \) es la implicación. Es decir, \( p \leq q \) quiere decir que si \( p \) es verdadero, entonces \( q \) también lo es (que es lo mismo que decir que \( p \to q \) es verdadero).

no la he entendido mucho. ¿Cómo de \( p\wedge q=p \) podemos deducir \( p\to q \)? ¿Es decir que si \( (A,\wedge) \) dada por \( p\leq q\leftrightarrow p\wedge q=p \) entonces \( (A,\wedge)\cong(A,\to) \)? Me explota la cabeza :o.

Sí, el orden es la implicación. Es decir, \( p \leq q \) quiere decir que si \( p \) es verdadera \( q \) también lo es, En efecto, si tienes \( p \wedge q = p \) y \( p=1 \) (por \( 1 \)denoto verdadero y por \( 0 \) falso), necesariamente debes tener \( q=1 \) porque sino tendrías \( 1 \wedge 0 =1 \), que es falso. Esto no quiere decir que \( (A, \wedge) \cong (A, \to) \) porque \( (A, \to) \) no es un semirretículo.

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De todas formas no creo entender mucho. Hablás sobre relaciones de orden, que algo recuerdo haber estudiado, pero ni siquiera entiendo tu interpretación porque por ejemplo si \( p=\text{Hoy es lunes} \) y \( q=\text{Mi nombre es geómetracat} \) luego ¿cómo podríamos armar el diagrama de Hasse si aparentemente no tienen ninguna relación la \( p \) y \( q \)? Es como mezclar peras con manzanas. En cambio sí que le veo sentido tener un orden con \( \Bbb{N} \), o en \( P(A) \), pero no con proposiciones que pueden representar cualquier sentencia con un valor de verdad. Las demostraciones avalan que sí hay un orden pero yo no lo veo.

Bueno, tal como lo estaba pensando, si tienes dos proposiciones que son ambas verdaderas, de hecho son iguales. Es decir, en realidad el semirretículo que estamos considerando es el formado por dos elementos, \( 0<1 \), ya que toda proposición es verdadera o falsa. Como tus dos proposiciones son verdaderas (suponiendo que realmente me llamara geómetracat  ;D) de hecho son iguales en el semirretículo que estamos considerando. La cuestión es que tal como lo estaba pensando identificamos una fórmula con su valor de verdad, así que solamente hay dos elementos.

En realidad esto no es muy útil ni lo que se suele hacer en lógica formal, así que intentaré describir las cosas bien hechas. Normalmente, en lógica proposicional se consideran un número infinito numerable de variables proposicionales \( p_1,p_2, \dots \), y se definen las fórmulas (proposicionales) combinando estas variables usando conjunciones. disyunciones, negaciones, implicaciones, etc. Supongo que esto lo has visto ya alguna vez, así que no me extenderé en detalles.
La cuestión es que, si esto lo piensas así, de manera formal, una fórmula no tiene un valor de verdad definido hasta que no especificas una valoración (es decir, un valor de verdad para cada variable proposicional). A partir de aquí se definen las tautologías como aquellas fórmulas que son verdaderas para cualquier valoración, las contradicciones (falsas para cualquier valoración) y luego tienes una serie de fórmulas para las que algunas valoraciones las hacen verdaderas y otras falsas. 
Vamos a intentar capturar esto con un semirretículo que describa el comportamiento de las fórmulas proposicionales con \( \wedge \). Lo primero es que si tratamos con fórmulas sin más, como objetos formales, no es cierto que formen un semirretículo con \( \wedge \). En efecto, las fórmulas \( p_1 \wedge p_2 \) y \( p_2 \wedge p_1 \) son fórmulas distintas, por tanto la conjunción no es conmutativa. ¿Cómo arreglamos esto? Notando que, aunque sean fórmulas distintas, son equivalentes en el sentido de que una es verdad si y solo si lo es la otra. Dicho de otra manera, ambas formulas "expresan lo mismo". Formalmente esto se puede capturar de varias formas (todas equivalentes). Una es decir que dos fórmulas \( \varphi, \psi \) son equivalentes (que escribiremos \( \varphi \sim \psi \) si y solamente si \( \varphi \leftrightarrow \psi \) es una tautología (equivalentemente, si son verdaderas para exactamente las mismas valoraciones, o si quieres algo puramente formal si cada una se deduce de la otra en un cálculo deductivo adecuado y completo para la lógica proposicional).
Una vez tenemos esto puedes comprobar que \( \sim \) define una relación de equivalencia en el conjunto de las fórmulas proposicionales \( Form \) (vistas como objetos formales), y por tanto puedes considerar el conjunto cociente: \( A = Form/\sim \). A este cociente (con las operaciones que ahora veremos) a veces se le llama álgebra de Lindenbaum-Tarski. Intuitivamente lo que hemos hecho es identificar las fórmulas que tienen "el mismo contenido de verdad". Fíjate que según la definición todas las tautologías están en la misma clase de equivalencia, al igual que todas las conradicciones, pero hay muchas más clases (infinitas, de hecho).

Denotaremos la clase de equivalencia de una fórmula \( \varphi \) por \( [\varphi] \). Entonces puedes definir una operación en \( A \) así: \( [\varphi] \wedge [\psi] := [\varphi \wedge \psi] \), y de igual manera con las demás operaciones (disyunciones, etc.). La cuestión es que ahora sí que \( (A, \wedge) \) es un semirretículo, ya que por ejemplo \( [\varphi] \wedge [\psi] = [\psi] \wedge [\varphi] \), porque \( \varphi \wedge \psi \leftrightarrow \psi \wedge \varphi \) es una tautología. Así pues tenemos un orden en \( A \) dado por
\( [\varphi]  \leq [\psi] \iff [\varphi] \wedge [\psi] = [\varphi] \).
Pues bien, por el mismo argumento que te he dicho antes, resulta que \( [\varphi] \leq [\psi] \) si y solo si \( \varphi \to \psi \) es una tautología. Es decir, la relación de orden te dice que \( \psi \) es "por lo menos tan verdadera" como \( \varphi \). Pero esto no quiere decir que tengas determinado el valor de \( \varphi \to \psi \) para todo par de fórmulas (porque si \( [\varphi[ \not\leq [\psi] \) no puedes decir nada en principio).

En fin, ya está bien de rollo que al final ha salido muy largo, pero espero que veas que estas cosas son algo más complicadas de lo que parecen a primera vista.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

11 Septiembre, 2019, 09:25 pm
Respuesta #4

manooooh

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Hola

Pues no soy ningún experto en retículos ni mucho menos, solamente sé las cosas básicas. Dime qué libro es, si no te importa.

Yo tampoco, pero veo que conocés la teoría de estructuras algebraicas, porque incluso das un nombre (el de Lindenbaum-Tarski). Yo ni siquiera he visto nada con nombres de famosos matemáticos, sólo los conceptos "grupo", "Álgebra de Boole" (lo debería considerar como una estructura importante claro), "Retículos/Redes", etcétera. El libro se llama "Matemática Discreta" (Edición Ampliada) de Susana Granado Peralta. Lo podés encontrar escaneado fácilmente en Internet.

Sí, el orden es la implicación. Es decir, \( p \leq q \) quiere decir que si \( p \) es verdadera \( q \) también lo es, En efecto, si tienes \( p \wedge q = p \) y \( p=1 \) (por \( 1 \)denoto verdadero y por \( 0 \) falso), necesariamente debes tener \( q=1 \) porque sino tendrías \( 1 \wedge 0 =1 \), que es falso. Esto no quiere decir que \( (A, \wedge) \cong (A, \to) \) porque \( (A, \to) \) no es un semirretículo.

Citar
De todas formas no creo entender mucho. Hablás sobre relaciones de orden, que algo recuerdo haber estudiado, pero ni siquiera entiendo tu interpretación porque por ejemplo si \( p=\text{Hoy es lunes} \) y \( q=\text{Mi nombre es geómetracat} \) luego ¿cómo podríamos armar el diagrama de Hasse si aparentemente no tienen ninguna relación la \( p \) y \( q \)? Es como mezclar peras con manzanas. En cambio sí que le veo sentido tener un orden con \( \Bbb{N} \), o en \( P(A) \), pero no con proposiciones que pueden representar cualquier sentencia con un valor de verdad. Las demostraciones avalan que sí hay un orden pero yo no lo veo.

Bueno, tal como lo estaba pensando, si tienes dos proposiciones que son ambas verdaderas, de hecho son iguales. Es decir, en realidad el semirretículo que estamos considerando es el formado por dos elementos, \( 0<1 \), ya que toda proposición es verdadera o falsa. Como tus dos proposiciones son verdaderas (suponiendo que realmente me llamara geómetracat  ;D) de hecho son iguales en el semirretículo que estamos considerando. La cuestión es que tal como lo estaba pensando identificamos una fórmula con su valor de verdad, así que solamente hay dos elementos.

En realidad esto no es muy útil ni lo que se suele hacer en lógica formal, así que intentaré describir las cosas bien hechas. Normalmente, en lógica proposicional se consideran un número infinito numerable de variables proposicionales \( p_1,p_2, \dots \), y se definen las fórmulas (proposicionales) combinando estas variables usando conjunciones. disyunciones, negaciones, implicaciones, etc. Supongo que esto lo has visto ya alguna vez, así que no me extenderé en detalles.

De acuerdo.

La cuestión es que, si esto lo piensas así, de manera formal, una fórmula no tiene un valor de verdad definido hasta que no especificas una valoración (es decir, un valor de verdad para cada variable proposicional). (...)

¿No es que la propia definición de "Proposición" implica tener un valor de verdad asignado? Otra cosa serían las funciones proposicionales, como lo es \( \forall x(P(x)) \) por ejemplo \( P(x)=\text{\(x\) es un número par} \) no es ni verdadera ni falsa, ahora bien \( P(2) \) es verdadera, \( P(3) \) es falsa, etcétera.

(...) A partir de aquí se definen las tautologías como aquellas fórmulas que son verdaderas para cualquier valoración, las contradicciones (falsas para cualquier valoración) y luego tienes una serie de fórmulas para las que algunas valoraciones las hacen verdaderas y otras falsas.

Llamadas contingencias. :)

Vamos a intentar capturar esto con un semirretículo que describa el comportamiento de las fórmulas proposicionales con \( \wedge \). Lo primero es que si tratamos con fórmulas sin más, como objetos formales, no es cierto que formen un semirretículo con \( \wedge \). En efecto, las fórmulas \( p_1 \wedge p_2 \) y \( p_2 \wedge p_1 \) son fórmulas distintas, por tanto la conjunción no es conmutativa. ¿Cómo arreglamos esto? Notando que, aunque sean fórmulas distintas, son equivalentes en el sentido de que una es verdad si y solo si lo es la otra. Dicho de otra manera, ambas formulas "expresan lo mismo". Formalmente esto se puede capturar de varias formas (todas equivalentes). Una es decir que dos fórmulas \( \varphi, \psi \) son equivalentes (que escribiremos \( \varphi \sim \psi \) si y solamente si \( \varphi \leftrightarrow \psi \) es una tautología (equivalentemente, si son verdaderas para exactamente las mismas valoraciones, o si quieres algo puramente formal si cada una se deduce de la otra en un cálculo deductivo adecuado y completo para la lógica proposicional).

Aquí ya me he perdido. Yo estaba considerando la conjunción habitual, como cuando uno dice "Considera la suma habitual de naturales", etcétera. ¿No es que la conjunción habitual hereda o tiene la propiedad conmutativa per sé?

Si es más complicado de lo que parecía entonces considerar por ejemplo el grupo \( (\Bbb{Z},+) \) con la suma (habitual), primero habría que definir toda la teoría axiomática detrás de esa operación \( + \) (supongo que tiene que ver con los axiomas de Peano). Pero nunca nadie me ha mostrado esa teoría y menos para considerar el grupo \( (\Bbb{Z},+) \). Quizás sea porque yo no estoy en una carrera de matemáticas.

Una vez tenemos esto puedes comprobar que \( \sim \) define una relación de equivalencia en el conjunto de las fórmulas proposicionales \( Form \) (vistas como objetos formales), y por tanto puedes considerar el conjunto cociente: \( A = Form/\sim \). A este cociente (con las operaciones que ahora veremos) a veces se le llama álgebra de Lindenbaum-Tarski. Intuitivamente lo que hemos hecho es identificar las fórmulas que tienen "el mismo contenido de verdad". Fíjate que según la definición todas las tautologías están en la misma clase de equivalencia, al igual que todas las conradicciones, pero hay muchas más clases (infinitas, de hecho).

Denotaremos la clase de equivalencia de una fórmula \( \varphi \) por \( [\varphi] \). Entonces puedes definir una operación en \( A \) así: \( [\varphi] \wedge [\psi] := [\varphi \wedge \psi] \), y de igual manera con las demás operaciones (disyunciones, etc.). La cuestión es que ahora sí que \( (A, \wedge) \) es un semirretículo, ya que por ejemplo \( [\varphi] \wedge [\psi] = [\psi] \wedge [\varphi] \), porque \( \varphi \wedge \psi \leftrightarrow \psi \wedge \varphi \) es una tautología. Así pues tenemos un orden en \( A \) dado por
\( [\varphi]  \leq [\psi] \iff [\varphi] \wedge [\psi] = [\varphi] \).
Pues bien, por el mismo argumento que te he dicho antes, resulta que \( [\varphi] \leq [\psi] \) si y solo si \( \varphi \to \psi \) es una tautología. Es decir, la relación de orden te dice que \( \psi \) es "por lo menos tan verdadera" como \( \varphi \). Pero esto no quiere decir que tengas determinado el valor de \( \varphi \to \psi \) para todo par de fórmulas (porque si \( [\varphi[ \not\leq [\psi] \) no puedes decir nada en principio).

No entiendo para qué escribís todo esto. ¿Nos ayuda a definir el monoide de las proposiciones lógicas con la conjunción? ¿Para qué necesitamos el conjunto cociente?

Saludos

12 Septiembre, 2019, 05:40 pm
Respuesta #5

geómetracat

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Yo tampoco, pero veo que conocés la teoría de estructuras algebraicas, porque incluso das un nombre (el de Lindenbaum-Tarski). Yo ni siquiera he visto nada con nombres de famosos matemáticos, sólo los conceptos "grupo", "Álgebra de Boole" (lo debería considerar como una estructura importante claro), "Retículos/Redes", etcétera. El libro se llama "Matemática Discreta" (Edición Ampliada) de Susana Granado Peralta. Lo podés encontrar escaneado fácilmente en Internet.
Gracias por el libro.

Citar
¿No es que la propia definición de "Proposición" implica tener un valor de verdad asignado? Otra cosa serían las funciones proposicionales, como lo es \( \forall x(P(x)) \) por ejemplo \( P(x)=\text{\(x\) es un número par} \) no es ni verdadera ni falsa, ahora bien \( P(2) \) es verdadera, \( P(3) \) es falsa, etcétera.

Bien. Entonces puedes pensar que en lógica formal nos interesan más las funciones proposicionales que las proposiciones en sí mismas.


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Llamadas contingencias. :)

Pues nunca lo había oído, pero seguro que se le llama así. No conozco muy bien la nomenclatura más "filosófica", la verdad.

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Aquí ya me he perdido. Yo estaba considerando la conjunción habitual, como cuando uno dice "Considera la suma habitual de naturales", etcétera. ¿No es que la conjunción habitual hereda o tiene la propiedad conmutativa per sé?

Si es más complicado de lo que parecía entonces considerar por ejemplo el grupo \( (\Bbb{Z},+) \) con la suma (habitual), primero habría que definir toda la teoría axiomática detrás de esa operación \( + \) (supongo que tiene que ver con los axiomas de Peano). Pero nunca nadie me ha mostrado esa teoría y menos para considerar el grupo \( (\Bbb{Z},+) \). Quizás sea porque yo no estoy en una carrera de matemáticas.
(...)
No entiendo para qué escribís todo esto. ¿Nos ayuda a definir el monoide de las proposiciones lógicas con la conjunción? ¿Para qué necesitamos el conjunto cociente?

A ver, hay que distinguir dos cosas. Una son las fórmulas como objeto sintáctica (es decir, cadenas de símbolos). En este caso, \( p \wedge q \) no es la misma fórmula que \( q \wedge p \), porque son cadenas distintas. Si le preguntas a un ordenador si son iguales te dirá que no. Esto es lo que se considera cuando se habla de fórmulas: cadenas de símbolos formadas de acuerdo a unas reglas (por ejemplo, \( p \wedge q \) es una fórmula, pero \( \wedge pq \) no lo es porque no sigue las reglas). Bajo esta interpretación, es claro que la conjunción no es conmutativa, porque como he dicho antes, \( p \wedge q \) y \( q \wedge p \) son fórmulas distintas.

Otro tema es considerar una fórmula como una función proposicional. Es decir, como una función \( Val \to \{V,F\} \) donde \( Val \) es el conjunto de todas las posible valoraciones (maneras de asignar un valor de verdad a cada variable proposicional). Visto así, la conjunción sí que es conmutativa, asociativa e idempotente, en el sentido de que las fórmulas \( \varphi \wedge \psi \) y \( \psi \wedge \varphi \) tienen el mismo valor de verdad cuando fijas una valoración cualquiera.

El sentido de hacer el cociente es precisamente pasar de la primera interpretación (fórmulas como cadenas de símbolos, es decir, objetos puramente sintácticos) a la segunda (fórmulas como funciones \( Val \to \{V,F\} \)). Fíjate que lo que hacemos al hacer el cociente es precisamente identificar todas las fórmulas que son iguales como funciones \( Val \to \{V,F\} \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

13 Septiembre, 2019, 07:10 pm
Respuesta #6

manooooh

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Hola, gracias por las prontas respuestas

Gracias por el libro.

Por nada. Estoy seguro que lo vas a leer en 1 día porque ya sabés la mayoría de los temas, supongo que alguna que otra definición no sabrás, pero incluso las demostraciones las podés realizar sin ver ninguna teoría previa.

Pues nunca lo había oído, pero seguro que se le llama así. No conozco muy bien la nomenclatura más "filosófica", la verdad.

Pues la verdad no sé por qué le decís a ese nombre "filosófico" si es un nombre más, como lo podría haber llamado "Pepito" y está igual de bien que llamar "Tautología" a una proposición que es siempre verdadera.

A ver, hay que distinguir dos cosas. Una son las fórmulas como objeto sintáctica (es decir, cadenas de símbolos). En este caso, \( p \wedge q \) no es la misma fórmula que \( q \wedge p \), porque son cadenas distintas. Si le preguntas a un ordenador si son iguales te dirá que no. Esto es lo que se considera cuando se habla de fórmulas: cadenas de símbolos formadas de acuerdo a unas reglas (por ejemplo, \( p \wedge q \) es una fórmula, pero \( \wedge pq \) no lo es porque no sigue las reglas). Bajo esta interpretación, es claro que la conjunción no es conmutativa, porque como he dicho antes, \( p \wedge q \) y \( q \wedge p \) son fórmulas distintas.

Otro tema es considerar una fórmula como una función proposicional. Es decir, como una función \( Val \to \{V,F\} \) donde \( Val \) es el conjunto de todas las posible valoraciones (maneras de asignar un valor de verdad a cada variable proposicional). Visto así, la conjunción sí que es conmutativa, asociativa e idempotente, en el sentido de que las fórmulas \( \varphi \wedge \psi \) y \( \psi \wedge \varphi \) tienen el mismo valor de verdad cuando fijas una valoración cualquiera.

El sentido de hacer el cociente es precisamente pasar de la primera interpretación (fórmulas como cadenas de símbolos, es decir, objetos puramente sintácticos) a la segunda (fórmulas como funciones \( Val \to \{V,F\} \)). Fíjate que lo que hacemos al hacer el cociente es precisamente identificar todas las fórmulas que son iguales como funciones \( Val \to \{V,F\} \).

Gracias. Ahora entiendo la diferencia entre fórmula y función proposicional ;D.

Lo que no termino de comprender es el último párrafo de la cita.

Saludos

13 Septiembre, 2019, 08:43 pm
Respuesta #7

geómetracat

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Pues la verdad no sé por qué le decís a ese nombre "filosófico" si es un nombre más, como lo podría haber llamado "Pepito" y está igual de bien que llamar "Tautología" a una proposición que es siempre verdadera.

Le llamo "filosófico" porque nunca lo ví en lógica matemática, así que he dado por hecho que es una terminología que viene de la tradición filosófica, pero puedo estar equivocado. Por supuesto que está bien, igual que tautología y contradicción, solamente que en mi experiencia leyendo cosas de lógica matemática nunca lo ví (tampoco ví ninguna alternativa, simplemente nunca había visto un nombre para ese concepto). Todos los días se aprende algo nuevo.

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Lo que no termino de comprender es el último párrafo de la cita.

Quiero decir que tomar el cociente que describía antes es una manera matemáticamente precisa de pasar de las fórmulas como objeto sintáctico (cadenas de símbolos) a las funciones proposicionales. Fíjate que si tienes dos fórmulas \( \varphi, \psi \), entonces éstas definen la misma función proposicional \( Val \to \{V,F\} \) si y solamente si la fórmula \( \varphi \leftrightarrow \psi \) es una tautología. Por tanto, puedes pensar los elementos del cociente, que son clases de equivalencia de fórmulas, como las funciones proposicionales distintas \( Val \to \{V,F\} \).
Por ejemplo, hay muchas fórmulas distintas que son tautologías, pero todas son equivalentes entre sí. Por tanto, las tautologías forman una única clase de equivalencia y un único elemento del cociente.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

13 Septiembre, 2019, 09:35 pm
Respuesta #8

manooooh

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