Autor Tema: Problema sobre la función parte entera

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03 Septiembre, 2019, 10:09 pm
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Eparoh

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Hola, tratando de demostrar cierto resultado he llegado a un punto en el cual he aplicado algo que creo es cierto, pero no consigo demostrarlo.
Sería algo así:

Sea \( n=p^ku \) un número natural con \( p \) primo, \( k \geq 0 \) y de modo que \( p \hspace{-2mm} \not | u \), entonces si \( i \leq k \) se cumple que

\( \lfloor \dfrac{n}{p^i} \rfloor = \lfloor \dfrac{n-1}{p^i} \rfloor +1 \)

mientras que si es \( k < i \) entonces

\( \lfloor \dfrac{n}{p^i} \rfloor = \lfloor \dfrac{n-1}{p^i} \rfloor \)

He conseguido demostrar la primera igualdad pues al ser \( i \leq k \) se tiene que \( \frac{n}{p^i} \) es un entero y entonces

\( \lfloor \dfrac{n-1}{p^i} \rfloor +1= \lfloor \dfrac{n}{p^i} \rfloor + \lfloor \dfrac{-1}{p^i} \rfloor +1 = \lfloor \dfrac{n}{p^i} \rfloor -1 +1 = \lfloor \dfrac{n}{p^i} \rfloor \)

Pero, la segunda igualdad no consigo demostrarla, por más caminos que trate de tomar, siempre llego a un callejón sin salida. ¿Alguna idea?

Muchas gracias por las respuestas y un saludo.

04 Septiembre, 2019, 12:26 am
Respuesta #1

geómetracat

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Para la parte que te falta, escribe \( n=ap^i +b \) con \( 0<b<p^i \) (la clave de todo está en que \( b \) no puede ser cero pues \( p^i \not | n \)). Entonces,
\( \lfloor \frac{n}{p^i} \rfloor = \lfloor a + \frac{b}{p^i} \rfloor = a \).
Y por otro lado, tienes que \( n-1 = ap^i + (b-1) \), con \( 0 \leq b-1 < p^i \), luego
\( \lfloor \frac{n-1}{p^i} \rfloor = \lfloor a + \frac{b-1}{p^i} \rfloor = a \).

Usando esto también puedes probar el caso que ya tienes probado. En ese caso tienes \( n=ap^i \) mientras que \( n-1 = (a-1)p^i+(p^i-1) \), lo que te da el resultado.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

04 Septiembre, 2019, 03:27 pm
Respuesta #2

Eparoh

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Para la parte que te falta, escribe \( n=ap^i +b \) con \( 0<b<p^i \) (la clave de todo está en que \( b \) no puede ser cero pues \( p^i \not | n \)). Entonces,
\( \lfloor \frac{n}{p^i} \rfloor = \lfloor a + \frac{b}{p^i} \rfloor = a \).
Y por otro lado, tienes que \( n-1 = ap^i + (b-1) \), con \( 0 \leq b-1 < p^i \), luego
\( \lfloor \frac{n-1}{p^i} \rfloor = \lfloor a + \frac{b-1}{p^i} \rfloor = a \).

Usando esto también puedes probar el caso que ya tienes probado. En ese caso tienes \( n=ap^i \) mientras que \( n-1 = (a-1)p^i+(p^i-1) \), lo que te da el resultado.

Siempre me ocurre lo mismo, intento mil cosas y lo más sencillo como es aplicar el simple algoritmo de la división se me escapa  :banghead:
Muchas gracias por la respuesta, muy útil como siempre.