[martiniano]

CLASIFICACIÓN DE CÓNICAS

Hay situaciones en la que se pide clasificar una cónica a partir de ciertos datos sin que sea necesario determinarla. Veamos un ejemplo.

Dados cinco puntos del plano clasificar la cónica que los contiene

Se toman dos de ellos como vértices \( V \) y \( V' \) de dos haces proyectivos. Sean \( A,B,C \) los otros tres puntos. Se obtienen los dos tríos de rectas \( VA,VB,VC \) y \( VA',VB',VC' \), que forman los haces \( V(a,b,c) \) y \( V(a',b',c') \), proyectivos por el Teorema de Steiner. Se traslada uno de ellos, el \( V(a',b',c') \), por ejemplo, sobre \( V \) y se obtienen los dos haces \( V(a,b,c) \) y \( V(a'',b'',c'') \).

Si esa proyectividad no tiene rectas dobles, la cónica no tendrá puntos impropios, y se tratará de una elipse. Si tiene dos rectas dobles, nos hallaremos ante una hipérbola cuyas asíntotas serán paralelas a esas rectas dobles. Y si tiene sólo una, ante una parábola, cuyo eje será paralelo a dicha recta.

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