[Zako]

\( \begin{cases} x+yz & = & 2016 \\ xy+z & = & 2015 \end{cases}  \)

siendo x e y enteros.

[robinlambada]

Hola:

\( \begin{cases} x+yz & = & 2016 \\ xy+z & = & 2015 \end{cases}  \)

siendo x e y enteros.

Revisa el enunciado, o se trata de demostrar que no tiene soluciones.
Ya que de \(  xy+z =2015 \) se deduce que z es entero:

Pero restando ambas ecuaciones y factorizándo obtenemos:

\( (x-z)(1-y)=1 \) lo que contradice que las tres incógnitas sean enteras, salvo \( (2016,0,2015) \)<-- AÑADIDO

Por ello el sistema no tiene solución, es incompatible.

Saludos.

[Zako]

El punto (2016,0,2015) cumple el sistema y son enteros. Lo que no se es como demostrar que es la única solución entera sin usar una hoja de calculo.

[robinlambada]

El punto (2016,0,2015) cumple el sistema y son enteros. Lo que no se es como demostrar que es la única solución entera sin usar una hoja de calculo.

Claro!!. Que despiste, lo tenemos ante nuestros ojos:

Si entiendes como se llega a \( (x-z)(1-y)=1 \)
Entonces la única solución entera a la ecuación es que cada factor sea 1 ó -1

\( \begin{cases} 1-y& = 1 \\ x-z & =  1 \end{cases} \) obtenemos \( (2016,0,2015) \)

\( \begin{cases} 1-y& = -1 \\ x-z & = -1 \end{cases} \) Pero de esta no se obtienen soluciones enteras


Saludos.

[Zako]

Claro!!. Que despiste, lo tenemos ante nuestros ojos:

Si entiendes como se llega a \( (x-z)(1-y)=1 \)
Entonces la única solución entera a la ecuación es que cada factor sea 1 ó -1

\( \begin{cases} 1-y& = 1 \\ x-z & =  1 \end{cases} \) obtenemos \( (2016,0,2015) \)

\( \begin{cases} 1-y& = -1 \\ x-z & = -1 \end{cases} \) Pero de esta no se obtienen soluciones enteras


Saludos.

He intentado llegar a  \( (x-z)(1-y)=1 \)
puedes darme alguna idea de como llegaste a ese factor? \( (1-y) \)

[Luis Fuentes]

Hola

He intentado llegar a  \( (x-z)(1-y)=1 \)
puedes darme alguna idea de como llegaste a ese factor? \( (1-y) \)

Si restas las ecuaciones tienes:

\( x+yz-xy-z=1 \)
\( x-xy+yz-z=1 \)
\( x(1-y)+z(y-1)=1 \)
\( x(1-y)-z(1-y)=1 \)
\( (x-z)(1-y)=1 \)

Saludos.

[Zako]

Muchasgracias