Autor Tema: solución de una ecuación diferencial con condiciones iniciales

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28 Agosto, 2019, 02:37 pm
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hupavi

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en un libro de ecuaciones diferenciales plantean un ejercicio, donde dan una ecuación diferencial y una familia de soluciones, adicional dicen que determine la solución según ciertas condiciones iniciales así:

\( x=c_1cos(t) + c_2sen(t) \)
\( x^{\prime\prime}+x=0 \)

condiciones iniciales:

\( x^{\prime\prime}(\displaystyle\frac{\pi}{2})=1; x=(\displaystyle\frac{\pi}{2})=0 \)

al derivar \( x \) dos veces obtengo:

\( x^{\prime\prime}=-c_1cos(t) - c_2sen(t) \)

el problema está la evaluar las condiciones iniciales:

\( x(\displaystyle\frac{\pi}{2})=c_1cos(\displaystyle\frac{\pi}{2}) + c_2sen(\displaystyle\frac{\pi}{2})=c_2=0 \)

\( x^{\prime\prime}(\displaystyle\frac{\pi}{2})=-c_1cos(\displaystyle\frac{\pi}{2}) - c_2sen(\displaystyle\frac{\pi}{2})=-c_2=1 \)

lo cual es una contradicción, no se si tengo un error o si es correcto afirmar que esas condiciones iniciales no satisfacen ninguna solución de la ecuación diferencial.

(estoy trabajando de un libro donde encontré varios ejercicios como este en el que piden verificar algo que no se cumple, ello me tiene con dudas, gracias)

28 Agosto, 2019, 03:02 pm
Respuesta #1

robinlambada

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Hola:
en un libro de ecuaciones diferenciales plantean un ejercicio, donde dan una ecuación diferencial y una familia de soluciones, adicional dicen que determine la solución según ciertas condiciones iniciales así:

\( x=c_1cos(t) + c_2sen(t) \)
\( x^{\prime\prime}+x=0 \)

condiciones iniciales:

\( x^{\prime\prime}(\displaystyle\frac{\pi}{2})=1; x=(\displaystyle\frac{\pi}{2})=0 \)

al derivar \( x \) dos veces obtengo:

\( x^{\prime\prime}=-c_1cos(t) - c_2sen(t) \)

el problema está la evaluar las condiciones iniciales:

\( x(\displaystyle\frac{\pi}{2})=c_1cos(\displaystyle\frac{\pi}{2}) + c_2sen(\displaystyle\frac{\pi}{2})=c_2=0 \)

\( x^{\prime\prime}(\displaystyle\frac{\pi}{2})=-c_1cos(\displaystyle\frac{\pi}{2}) - c_2sen(\displaystyle\frac{\pi}{2})=-c_2=1 \)

lo cual es una contradicción, no se si tengo un error o si es correcto afirmar que esas condiciones iniciales no satisfacen ninguna solución de la ecuación diferencial.

(estoy trabajando de un libro donde encontré varios ejercicios como este en el que piden verificar algo que no se cumple, ello me tiene con dudas, gracias)

No , no tienes ningún error en tu análisis.

Debe ser un error tipográfico:

Para estas ecuaciones se suelen dar como condiciones iniciales los valores de la función en dos puntos ó el valor en un punto y el valor de la primera derivada en un punto.

Probablemente sea la primera derivada en vez de la segunda.

Fijate que no tiene sentido que te den dos valores distintos ( 0 y 1) para el mismo punto de la función y de su segunda derivada, ya que:
\(
x''+x=0\Leftrightarrow{}x(t)=-x''(t) \) en concreto \( x(\pi/2)=-x''(\pi/2) \)

Te están diciendo que \( 0=-1 \) lo que es falso.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.