[hupavi]

en un libro de ecuaciones diferenciales, piden comprobar que la familia de soluciones dadas es una solución de la ecuación diferencial dada.

\( \displaystyle\frac{dy}{dx}+2xy=1  \)

\( y=e^{-x^2}*\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t^2} dt + c_1 e^{-x^2} \)

al derivar \( y \)

obtengo:

\( \displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{d}{dx}(e^{-x^2}*\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t^2} dt)+c_1\displaystyle\frac{d}{dx}(e^{-x^2})   \)

\( \displaystyle\frac{d}{dx}(e^{-x^2})*\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t^2} dt + e^{-x^2}*\displaystyle\frac{d}{dx}(\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t^2} dt) + c_1\displaystyle\frac{d}{dx}(e^{x^2}) \)


\( \displaystyle\frac{dy}{dx}=-2xe^{-x^2}*\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t^2} dt +e^{-x^2}*e^{-x^2}+c_1-2xe^{-x^2}  \)

\( \displaystyle\frac{dy}{dx}=-2xe^{-x^2}*\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t^2} dt +e^{-2x^2}+c_1-2xe^{-x^2} \)

\( \displaystyle\frac{dy}{dx}=-2xe^{-x^2}*\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t^2} dt +c_1-2xe^{-x^2}+e^{-2x^2} \)

\( \displaystyle\frac{dy}{dx}=-2x(e^{-x^2}*\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t^2} dt +c_1e^{-x^2}) +e^{-2x^2}  \)

\( \displaystyle\frac{dy}{dx}=-2xy +e^{-2x^2} \)

pero el término \( e^{-2x^2} \) debería ser \( 1 \) para ser una solución de la ecuación diferencial.

tengo un error o ¿es correcto afirmar que la familia de ecuaciones no son solución de la ecuación diferencial?

[delmar]

Hola

A grandes rasgos es correcto lo que has hecho. En la solución que dan hay un error, ha de ser :

\( y=e^{-x^2} \ \displaystyle\int_{0}^{x}e^{t^2}dt+c_1 \ e^{-x^2} \)

La segunda potencia de e es decir, la que figura en el integral es incorrecta, en lugar de ser negativa es positiva.

Saludos