Autor Tema: Tema numeración

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27 Agosto, 2019, 07:29 pm
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Francois

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Buen día con todos. Esta pregunta le llevo dando vueltas y quisiera saber si me podrían dar una idea de como plantearla.

Problema

Si \(  \overline{(a-2)(a+2)000_{(8)}} \) se convierte a sistema en base 13 se observa que la suma de sus cifras es par.
Hallar la suma de cifras al convertir al sistema cuaternario.

Muchas gracias.
Saludos.

28 Agosto, 2019, 11:39 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Buen día con todos. Esta pregunta le llevo dando vueltas y quisiera saber si me podrían dar una idea de como plantearla.

Problema

Si \(  \overline{(a-2)(a+2)000_{(8)}} \) se convierte a sistema en base 13 se observa que la suma de sus cifras es par.
Hallar la suma de cifras al convertir al sistema cuaternario.

Muchas gracias.
Saludos.

Revisa el enunciado. Tal como está no puede saberse de manera inequívoca lo que pregunta.

En primer lugar:

\( \overline{(a-2)(a+2)000_{(8)}}=(a-2)8^4+(a+2)8^3=8^3(9a-14) \) siempre es par

Además \( 13\equiv 1 \) mod \( 2 \); por tanto cualquier número par tiene suma de cifras en base \( 13 \) también par. Es decir ese dato no aporta nada.

Por otra parte, por ejemplo si \( a=3 \):

\( \overline{(a-2)(a+2)000_{(8)}}=\overline{15000_{(8)}}=1220000_{(4)} \)

y si \( a=5 \):

\( \overline{(a-2)(a+2)000_{(8)}}=\overline{37000_{(8)}}=3320000_{(4)} \)

La suma de cifras en base \( 4 \) varía.

Saludos.

28 Agosto, 2019, 06:04 pm
Respuesta #2

Francois

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Si la pregunta fuera con \( \overline{(a-2)(a+2)00a_{(8)}} \) (modificando la última cifra por \( a \)).

Y siguiendo la idea de Luis Fuentes.
La respuesta es que \( a=4 \) y luego la respuesta es \( 6 \).

Muchas gracias Luis Fuentes.
Saludos.


29 Agosto, 2019, 11:06 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Si la pregunta fuera con \( \overline{(a-2)(a+2)00a_{(8)}} \) (modificando la última cifra por \( a \)).

Y siguiendo la idea de Luis Fuentes.
La respuesta es que \( a=4 \) y luego la respuesta es \( 6 \).

Si, así si. En ese caso la paridad del número coincide con la paridad de \( a \). Entonces para que la suma de las cifras en base \( 13 \) sea par, también \( a \) ha de ser par (según lo explicado en mi primera respuesta).

Para que en base \( 8 \) las cifras \( a-2 \) y \( a+2 \) tengan sentido (y además la primera no puede ser cero) ha de cumplirse:

\( a-2\geq 1 \)
\( a+2\leq 7 \)

es decir \( 3\leq a\leq 5 \). Como \( a \) es par necesariamente \( a=4 \).

Saludos.