Autor Tema: Identidad del paralelogramo

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23 Agosto, 2019, 01:20 am
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Miguel.hs

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Sea \( X \) un espacio vectorial dotado de una norma \( \left\|{\cdot}\right\| \), esta proviene de un producto interno si y solamente si cumple con la identidad del paralelogramo $$ \left\|{x+y}\right\|^{2}+ \left\|{x-y}\right\|^{2}=2( \left\|{x}\right\|^{2}+ \left\|{y}\right\|^{2}).$$

Personalmente solo he podido hacer la ida \( (\Rightarrow) \) pero no tengo idea para hacer el regreso de este teorema.

23 Agosto, 2019, 08:40 am
Respuesta #1

geómetracat

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Por la ida supongo que quieres decir que si la norma proviene de un producto escalar entonces cumple la identidad del paralelogramo.

Para el otro lado, suponiendo que tengas una norma que cumple esa identidad, define:
\( \langle x, y \rangle :=\frac{1}{2}( ||x+y||^2 - ||x||^2 - ||y||^2) \)
y comprueba que es un producto escalar. Si tienes alguna dificultad en la comprobación dilo y lo miramos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

24 Agosto, 2019, 08:33 pm
Respuesta #2

Miguel.hs

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Por la ida supongo que quieres decir que si la norma proviene de un producto escalar entonces cumple la identidad del paralelogramo.

Para el otro lado, suponiendo que tengas una norma que cumple esa identidad, define:
\( \langle x, y \rangle :=\frac{1}{2}( ||x+y||^2 - ||x||^2 - ||y||^2) \)
y comprueba que es un producto escalar. Si tienes alguna dificultad en la comprobación dilo y lo miramos.

He intentado comprobar que realmente es un producto interno pero no he podido demostrar:
  • \( \left<{x+z,y}\right>=\left<{x,y}\right>+\left<{z,y}\right>\quad \forall{x,y,z\in{X}} \)
  • \( \left<{\alpha x,y}\right>=\alpha\left<{x,y}\right>\quad\forall{x,y\in{X}},\forall{\alpha} \)

24 Agosto, 2019, 09:17 pm
Respuesta #3

geómetracat

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La verdad es que es un poco más complicado de lo que recordaba. Puedes ver la prueba aquí (en la segunda respuesta):
https://math.stackexchange.com/questions/21792/norms-induced-by-inner-products-and-the-parallelogram-law
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)