Autor Tema: Demostrar que los dos triángulos indicados tienen la misma área

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20 Agosto, 2019, 06:33 pm
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Mario González

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El triángulo ABC tiene área k y D es el punto medio de BC. Los puntos P, Q y R de la figura son tales que verifican las siguientes relaciones entre segmentos:

AP=2·AB
AQ=3·AD
AR=4·AC

Con estas condiciones resulta que el área del triángulo PQR es también k. Alguien sabe demostrar por què?


20 Agosto, 2019, 08:14 pm
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

Mira esta imagen y confirma las medidas que he anotado, h es la altura del triángulo ABC desde A a CB.
Los segmentos con medidas anotadas son paralelos a CB.

Calcula el área sombreada restando al área total del trapecio las áreas de triángulos no sombreados.



Saludos

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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20 Agosto, 2019, 11:09 pm
Respuesta #2

Mario González

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Hola ingmarov y gracias por la respuesta, pero el dibujo no me cuadra. Los dos segmentos de la parte inferior no pueden ser igual a 2CB. Tampoco me cuadra el 3CB/2. Gracias igualmente.

20 Agosto, 2019, 11:13 pm
Respuesta #3

hméndez

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El triángulo ABC tiene área k y D es el punto medio de BC. Los puntos P, Q y R de la figura son tales que verifican las siguientes relaciones entre segmentos:

AP=2·AB
AQ=3·AD
AR=4·AC

Con estas condiciones resulta que el área del triángulo PQR es también k. Alguien sabe demostrar por què?



Con base en la conocida fórmula del área de un triangulo de lados \( a \) y \( b \) y angulo comprendido  \( \theta \)  \( Area= \frac{1}{2}ab \sen(\theta) \),
y sabiendo que la mediana \( AD \) divide al triangulo \( ABC \) en dos triángulos de igual área se tiene (denotando área de triángulo por (\(  \triangle \)):

\( \triangle PAQ=\frac{1}{2}PA\,AQ\sen(\angle PAQ)=\frac{1}{2}2AB\,3AD\sen(\angle BAD)\Longleftrightarrow{}\triangle PAQ=6\triangle BAD  \)

y así para los demás ...se obtiene:

\( \triangle PAQ=6\triangle BAD=3\triangle ABC \)   
\( \triangle QAR=12\triangle DAC=6\triangle ABC \)
\( \triangle PAR=8\triangle ABC \)

Entonces:

\( \triangle PQR =\triangle PAQ +\triangle QAR -\triangle PAR \)
\( \triangle PQR =3\triangle ABC +6\triangle ABC - 8\triangle ABC  \)
\( \triangle PQR=1 \triangle ABC \)

Saludos

20 Agosto, 2019, 11:20 pm
Respuesta #4

Mario González

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Muchas gracias, está clarísimo. :aplauso:

Un saludo,

21 Agosto, 2019, 12:11 am
Respuesta #5

ingmarov

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El triángulo ABC tiene área k y D es el punto medio de BC. Los puntos P, Q y R de la figura son tales que verifican las siguientes relaciones entre segmentos:

AP=2·AB
AQ=3·AD
AR=4·AC

Con estas condiciones resulta que el área del triángulo PQR es también k. Alguien sabe demostrar por què?



Con base en la conocida fórmula del área de un triangulo de lados \( a \) y \( b \) y angulo comprendido  \( \theta \)  \( Area= \frac{1}{2}ab \sen(\theta) \),
y sabiendo que la mediana \( AD \) divide al triangulo \( ABC \) en dos triángulos de igual área se tiene (denotando área de triángulo por (\(  \triangle \)):

\( \triangle PAQ=\frac{1}{2}PA\,AQ\sen(\angle PAQ)=\frac{1}{2}2AB\,3AD\sen(\angle BAD)\Longleftrightarrow{}\triangle PAQ=6\triangle BAD  \)

y así para los demás ...se obtiene:

\( \triangle PAQ=6\triangle BAD=3\triangle ABC \)   
\( \triangle QAR=12\triangle DAC=6\triangle ABC \)
\( \triangle PAR=8\triangle ABC \)

Entonces:

\( \triangle PQR =\triangle PAQ +\triangle QAR -\triangle PAR \)
\( \triangle PQR =3\triangle ABC +6\triangle ABC - 8\triangle ABC  \)
\( \triangle PQR=1 \triangle ABC \)

Saludos

Eres un monstruo en geometría, creo que desayunas problemas de geometría todos los días.

Saludos
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