Hola, natydlv.
entonces voy a llamar:
\( R_0 \) a la recta que pasa por \( P \)
\( R_1:(x,y,z)=(-4,2,0)+a(1,5,-2) \)
\( R_2:(x,y,z)=(2,0,-3)+a(2,-2,3) \)
ahora me resulta todavía mas confuso, alguna ayuda?
Por qué confuso, si tú misma ya sabes qué dos vectores son:
\( R_{1}:(x,y,z)=(-4,2,0)+a({\color{blue}1,5,-2})
\)
\( R_{2}:(x,y,z)=(2,0,-3)+a({\color{magenta}2,-2,3})
\)
Sólo tienes que buscar uno que sea perpendicular a ambos.
Lo más inmediato es usar el producto vectorial, como decía Robin, y además es que el problema lo pide, se ve que está “inventado” para eso.
Ahora bien, en otros casos, si no estuvieras en \( \mathbb{R}^{3}
\), no se podría, y entonces tendrías que usar el producto escalar con un sistema de ecuaciones, que tampoco es muy difícil; mira:
Buscamos un vector (a,b,c) que cumpla eso, entonces es simplemente plantear el producto escalar para los dos y resolver el sistema
\( \lambda(1,5,-2)\cdot(a,b,c)=0
\)
\( \beta(2,-2,3)\cdot(a,b,c)=0
\)
Operando:
\( a+5b-2c=\dfrac{0}{\lambda}=0
\)
\( 2a-2b+3c=\dfrac{0}{\beta}=0
\)
Sumando ahora las ecuaciones tienes \( 3a+3b+c=0
\), y de esto obtienes
\( c=-3(a+b)
\).
Entonces, tomando la primera ecuación, sustituimos
\( a+5b-2(-3)(a+b)=0\Rightarrow7a+11b=0
\)
que dividendo la ecuación entre 11 queda
\( \dfrac{7}{11}a+b=0\Rightarrow b=-\dfrac{7}{11}a
\)
Un vector es \( a(1,-\dfrac{7}{11},-\dfrac{12}{11})
\); pero haciendo a=11 quitamos denominadores \( (11,-7,-12)
\) y vemos que funciona el producto escalar.
Ahora, con el punto que te dan, ya tienes la ecuación; la puedes escribir directamente en forma vectorial y ya es muy fácil obtener las paramétricas despejando.
Saludos.
