[sedeort]

Supongamos que una bala de masa \( m \) puede penetrar una distancia \( x_0 \) al ser disparada sobre un cuerpo infinitamente masivo (o lo suficientemente sujetado como para no moverse con el impacto).
La pregunta es: cuánto penetrará la misma bala en un cuerpo libre de masa \( M \)?

Supondremos que sólo existe la fuerza media de fricción entre los cuerpos, y que es la misma en los dos casos.

[delmar]

Hola

Del primer evento se puede calcular la fuerza de fricción entre la bala y el cuerpo. Aplicando a la bala la relación entre la variación de la energía cinética y las fuerzas :

\( 0-\displaystyle\frac{1}{2} \ m \ v^2=-F_r \ x_0\Rightarrow{F_r=\displaystyle\frac{m}{2v^2x_0}} \)

Donde v es la velocidad inicial de la bala y \( F_r \) la fuerza de fricción.

En el segundo evento (bala que se empotra en un cuerpo libre), se ha de distinguir la situación inicial y la final.

Inicio. Momento en que la bala toma contacto con el cuerpo libre. En el inicio la bala tiene una velocidad v horizontal. El cuerpo libre tiene una velocidad cero. La penetración es cero, por que la bala recién toma contacto con el cuerpo.

Final. Momento en que ya no existe movimiento relativo entre la  bala y el cuerpo, en ese momento la bala ha penetrado una longitud \( x_1 \) en el cuerpo y esa longitud de penetración ya no se altera en el tiempo. Bala y cuerpo tienen un velocidad común V.

Entre el inicio y el final el cuerpo se ha desplazado horizontalmente una longitud L y la bala una longitud \( L+x_1 \)

¿Existen fuerzas externas horizontales al sistema bala-cuerpo entre el inicio y el final? No, solamente hay fuerzas internas, la fuerza de fricción. Entonces se puede aplicar la conservación de la cantidad de movimiento en la dirección horizontal.

Se aplica también la relación entre la energía y las fuerzas tanto para la bala como para el cuerpo.

Las 3 ecuaciones generadas permiten hallar \( x_1 \).

Saludos

[sedeort]

Efectivamente, delmar. De acuerdo con todo lo que dices.
Para sustanciar la cosa dejo a continuación el proceso que yo seguí.

Caso 0. Disparo sobre cuerpo de \( M= \infty \)
\( m \): masa de la bala
\( v_0 \): velocidad inicial de la bala
\( x_0 \): penetración máxima
\( g=0 \), no hay gravedad ni otro tipo de fuerza externa
La aceleración de frenado debida al rozamiento desde un SRI (y que siempre se mantendrá en todos los siguientes casos) será por cinemática:   \( a_0=\frac{v_0^2}{2x_0} \)
Y la fuerza de rozamiento asociada:      \( F_{roz}=ma_0 \)
El tiempo de penetración será: \( t_0=\displaystyle\frac{2x_0}{v_0} \)


Caso 1 Disparo sobre cuerpo libre de \( M \) finita
Datos: \( m, v_0, x_0, g=0 \)
Como la Fuerza de rozamiento es la misma en ambos casos, la aceleración de frenado debida al rozamiento, \( a_1=a_0 \), también lo es; vista desde un SRI, fuera del cuerpo (referida desde el propio cuerpo esta aceleración de frenado es menor y por eso la bala profundizará más).

Al no haber fuerzas externas se aplica el Principio de conservación del momento lineal. Nos sale:
\( v_f=\displaystyle\frac{mv_0}{M+m} \)   con \( v_f \), la velocidad final del conjunto cuerpo-bala

Y ahora utilizo la ecuación MRUA:
\( v^2_f-v^2_0=2a_0x_1 \)    siendo \( x_1 \) la penetración en este cuerpo M finito


Sustituyendo y operando a mí me sale:
    \(  x_1=x_0 \frac{M}{M+m}  \)
Y el tiempo de penetración \( t_1=t_0\frac{M}{M+m} \)


P:D: Ahora me plantearé un nuevo caso 2 pero en las proximidades de la Tierra (el peso como fuerza externa) y con un disparo vertical hacia arriba sobre el objeto inicialmente suspendido de un hilo. Cuánto penetrará ahora?

[sedeort]

Parece ser que resolví el nuevo caso que me propuse. Aquí está.

Caso 2. Disparo hacia arriba sobre un cuerpo \( M \) suspendido de un hilo
Datos iniciales: \( M, m, g, x0, v0 \)
Incognita: \( x_2 \) , penetración de la bala.

Ahora existe una gravedad \( g \) que actúa externamente sobre el cuerpo y la bala. Por lo tanto no se conserva el momento lineal del sistema durante la penetración.
La aceleración total de frenado de la bala será \( a_2=a_0+g \)
Adoptaremos el sentido positivo para los vectores dirigidos hacia arriba.

Aquí caben diferenciar dos posibilidades:

a) \(  P_M>F_{roz} \)
Si el peso del cuerpo, \( P_M=Mg \), es mayor que la fuerza de rozamiento de la bala, éste no llegará a moverse nunca.
Por tanto la velocidad final de la bala, en la máxima penetración, también será cero.
Resolviendo la expresión cinemática: \( v_0^2=2a_2x_{2a} \) sale
           \(  x_{2a}=x_0\displaystyle\frac{a_0}{a_0+g} \)
El tiempo en alcanzarse esta posición será     \( t_{2a}=t_0\displaystyle\frac{a_0}{a_0+g} \)
La tensión del hilo durante la penetración será: \( T=P_M-F_{roz} \)

b) \(  P_M<F_{roz} \)
Aquí el cuerpo sí comenzará a subir con una aceleración:
\( a_M=\displaystyle\frac{F_{roz}}{M}-g  \)
La velocidad del cuerpo será:  \( v_M=a_Mt \)
y la de la bala \( v_m=v_0-a_2t \)
La bala alcanzará su máxima penetración cuando se igualen estas dos velocidades.
Esto ocurre después de un tiempo   \(  t_{2a}=t_0\displaystyle\frac{M}{M+m} \)

Después de ese tiempo la penetración final será la diferencia de las espacios recorridos de la bala y el cuerpo.
Aplicando la expresión genérica \( s=v_0t+\displaystyle\frac{1}{2}at^2 \) a los dos objetos y restando obtengo:
                  \( x_{2b}=x_0\displaystyle\frac{M}{M+m} \)


Como es lógico, ambos apartados confluyen en la misma solución para \( P_M=F_{roz}
 \)

[delmar]

La respuesta sobre \( x_1 \) del caso 1, es CORRECTA. La del caso 2 todavía no la leo.

Saludos