Autor Tema: Función identidad

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

15 Agosto, 2019, 06:24
Leído 384 veces

Marcos Castillo

  • Pleno*
  • Mensajes: 1.831
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, tengo un texto, y dudas. Lo escribo:
"Para cada conjunto \[ X \], existe una función escrita como \[ Id_{X}:X\longrightarrow{X} \] que es definida por \[ f(x)=x \] para todo \[ x\in{X} \]. Es conocida como la función identidad en \[ X \] y es diferente para cada \[ X \]. Sólo se pueden componer funciones \[ f:A\longrightarrow{B} \] y \[ C\longrightarrow{D} \] si \[ B=C \].  "
Mi duda es que \[ B \] no tiene que ser igual a \[ C \]. ¿o si?.
Un saludo
No man is an island (John Donne)

15 Agosto, 2019, 13:11
Respuesta #1

ingmarov

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4.570
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, tengo un texto, y dudas. Lo escribo:
"Para cada conjunto \[ X \], existe una función escrita como \[ Id_{X}:X\longrightarrow{X} \] que es definida por \[ f(x)=x \] para todo \[ x\in{X} \]. Es conocida como la función identidad en \[ X \] y es diferente para cada \[ X \]. Sólo se pueden componer funciones \[ f:A\longrightarrow{B} \]  y  \[ {\bf\color{red}g:\;}C\longrightarrow{D} \] si \[ B=C \]".
Mi duda es que \[ B \] no tiene que se igual a \[ C \]. ¿o si?.
Un saludo

Hola Marcos

¿No te faltó escribir algo como lo que he puesto en rojo?
Si es así, tenemos. \[ (g\circ f)(x) \]
Por definición de la función composición \[ (g\circ f)(x) \] el dominio de g es igual  al rango de f.

Si no, no entiendo ese párrafo.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

15 Agosto, 2019, 14:48
Respuesta #2

Marcos Castillo

  • Pleno*
  • Mensajes: 1.831
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola ingmarov. La definición que yo tengo es diferente. Dice:
"Sean \[ f \], con dominio \[ A \], y \[ g \] funciones tales que el recorrido de \[ f \], \[ f(A) \], se encuentra en el dominio de \[ g \], \[ B \]


\[ \xymatrix{ A\ar[r]^f \ar[dr]_{gof} & f(A)\subset B\ar[d]^g \\ & R } \]

Vamos, que el recorrido de \[ f \] no es igual al dominio de \[ g \]. No sé si tiene relación.
Un saludo
No man is an island (John Donne)

15 Agosto, 2019, 15:51
Respuesta #3

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1.164
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Es una de estas cosas en las que no hay un acuerdo universal y que lleva fácilmente a confusión si miras fuentes distintas que usan convenciones distintas.

Si tienes aplicaciones \[ f:A \to B \] y \[ g:C \to D \], para que la función compuesta \[ g \circ f:A \to C \] esté definida, hay autores que piden que \[ B=C \] (diría que los más, y desde luego esta es mi opción favorita), y otros que admiten la condición más general \[ f(A) \subseteq C \]. En cualquier caso, obtienes una aplicación \[ g \circ f:A \to D \], pues la fórmula que la define, \[ (g \circ f)(x)=g(f(x)) \] para \[ x \in A \], tiene sentido.

Puede parecer que la segunda definición es más general, pero en realidad es lo mismo, pues si \[ f(A) \subseteq C \], puedes definir considerar la aplicación \[ f':A \to C \], que es la misma función que \[ f \], pero donde ahora pensamos que el conjunto de llegada es \[ C \] en vez de \[ B \]. Entonces, \[ g \circ f': A \to D \] está definida (con la definición más restrictiva) y es exactamente la misma aplicación que \[ g \circ f \] definida antes, con la definición más general.

De todas formas, mi opinión personal es que es mejor pedir que \[ B = C \] para que esté definida la composición, pues esto también se aplica a contextos mucho más generales donde la condición \[ f(A) \subseteq C \] puede no tener sentido.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \[ d^2=0 \]

15 Agosto, 2019, 15:57
Respuesta #4

Marcos Castillo

  • Pleno*
  • Mensajes: 1.831
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
¡Gracias, ingmarov, geómetracat!
Un saludo
No man is an island (John Donne)