[GMat]

Hola me gustaria hacer una pequeña consulta. Sea \( S \) una superficie y \( \alpha(t),\beta(t) \) dos curvas en \( S \) y \( X  \)un campo vectorial en \( S \). Mi pregunta puede que sea algo obvia pero ¿se cumple que \( X\left(\left\langle\alpha(t),\beta(t)\right\rangle\right)=\left\langle X(\alpha(t)),\beta(t)\right\rangle+\left\langle\alpha(t),X(\beta(t))\right\rangle \)?

¿Cual es la interpretación geométrica de esto ultimo? mas concretamente, ¿cual es el significado geométrico de \( \left\langle X(\alpha(t)),\beta(t)\right\rangle \)? Un vector tangente a una curva en una superficie es un objeto que pertenece al plano tangente, si se toma un vector este tiene su punto de origen el punto de tangencia mientras que si tomamos cada punto de la curva en \( S \), el vector seria el que va desde el origen hasta ese punto. ¿Que significado geométrico tiene entonces \( \left\langle X(\alpha(t)),\beta(t)\right\rangle \)? visto cada uno de esos objetos como vectores.

Gracias de antemano por la ayuda.

[geómetracat]

Entiendo que estás viendo la superfície metida en \( \Bbb R^3 \) (o en algún \( \Bbb R^n \)), porque si no la pregunta no tiene sentido.

Sí que es cierto, pero no creo que tenga ningún significado geométrico que sea intrínseco a la superfície. Tal como lo veo, es una combinación de dos hechos: la compatibilidad de la conexión de Levi-Civita con la métrica de \( \Bbb R^3 \) y el hecho de que la conexión de Levi-Civita en \( \Bbb R^3 \) es plana, por lo que tienes una manera canónica de identificar vectores que viven en espacios tangentes diferentes, vía transporte paralelo, y una manera de extender vectores definidos en un punto a campos vectoriales en todo \( \Bbb R^3 \), de nuevo por transporte paralelo.

Por eso no es algo intrínseco a la superfície, depende de que tengas un embedding de \( S \) en \( \Bbb R^3 \).

¿Esto te ha aparecido en algún contexto concreto? Si es así pon el contexto y pensamos el significado geométrico que pueda tener en ese contexto concreto.

[GMat]

¡Hola!Muchas gracias por responder.

Si, estaba pensando la superficie como un subconjunto de \( \Bbb R^3 \). Realmente no me aparecio en ningun contexto en específico, pregunté porque se pueden deducir propiedades geométricas a partir del producto interno pero no ví que significado geométrico podría tener el producto interno de un vector que parte desde el origen a un vector que parte desde un punto de tangencia. Tenía (o tengo) dudas acerca de por ejemplo, si se puede considerar el producto interno \( \left\langle X(\alpha(t)),X(\beta(t))\right\rangle \) si las curvas \( \alpha \) y \( \beta \) no se intersectan.

¿Podrías explicarme o recomendarme un texto donde pueda ver sobre la manera canónica de identificar vectores que viven en espacios tangentes diferentes? Y si es posible un text donde pueda aprender mas cosas relacionadas a eso.

¡Gracias por todo!

[geómetracat]

Sí, si estás en \( \Bbb R^3 \) puedes definir casi cualquier cosa con vectores, porque aunque cada vector viva en un espacio tangente distinto puedes transportarlos todos a un mismo espacio tangente y hacer las cuentas allí. En el otro mensaje te he dicho que esto es consecuencia del hecho de que la conexión de Levi-Civita en \( \Bbb R^3 \) es plana, pero en realidad es algo que hacemos normalmente. La cuestión es que si te doy un vector de \( \Bbb R^3 \) en coordenadas, \( v = (x,y,z) \), puedes pensar este vector (con las mismas coordenadas) en cualquier espacio tangente de \( \Bbb R^3 \).
En particular, siempre le puedes dar sentido a una expresión de la forma:
\( X \langle u, v \rangle \)
donde \( X,u,v \) son tres vectores de \( \Bbb R^3 \).

Sobre libros, este tipo de cosas las encontrarás en cualquier libro de geometría riemanniana. Hay muchos libros buenos sobre esto, por ejemplo el de do Carmo "Riemannian Geometry", el de Lee "Introduction to riemannian geometry" (este ea el que recomendaría yo como introsucción) o, en un contexto más general (geometría semiriemanniana) el de O'Neill "Semi-riemannian geometry with applications to relativity". El "problema" que tiene la geometría riemanniana es que, a diferencia de la geometría de superfícies, requiere tener bien por la mano la teoría de variedades diferenciables y objetos asociados como campos tensoriales. Pero a cambio tendrás el mejor lenguaje para expresar un montón de ideas geométricas, así que vale la pena aprenderlo.