Autor Tema: Estudiar si existe una constante para que pase un polinomio interpolante

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26 Julio, 2019, 02:44 am
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manooooh

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Hola!

Dados los siguientes pares ordenados de datos: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&1&3&5&6\\\hline y&1&4.5&14.5&28.5&37\\\hline\end{array}\] indicar si es posible hallar algún valor de \( k\in\Bbb{R} \) para que exista un polinomio de grado \( 4 \) que pase por todos los puntos dados y además por el punto \( (4,k) \).



Este tema es sobre interpolación. Haremos uso del siguiente teorema (sin demostrar):

Teorema Dados \( n+1 \) punos \( x_0,x_1,\dots,x_n \) y sus imágenes \( f_0,f_1,\dots,f_n \) entonces existe un único polinomio interpolador de grado menor o igual a \( n \).

Tomemos los puntos \( (0,1) \), \( (1,4.5) \), \( (3,14.5) \), \( (5,28.5) \) y \( (6,37) \) (\( 5 \) puntos en total) y usemos la fórmula progresiva para puntos no necesariamente equidistantes:


Vemos que el polinomio es de grado \( 2 \) y, por el teorema mencionado arriba, será único dados \( 5 \) puntos. Llamémosle \( P(x) \). Entonces: \[P(x)=1+3.5x+0.5x(x-1)=\frac{1}{2}x^2+3x+1.\] Si agregamos un sexto punto, el \( (4,k) \) tenemos: \( P(4)=21=k \), por ende:

- Si \( k=21 \) el polinomio será de grado \( 2 \).
- Si \( k\neq21 \) el polinomio será de grado \( 5 \), ya que para los primeros \( 5 \) puntos ya existe un polinomio de grado \( 2 \) que los interpola, pero para \( 6 \) puntos se interpola de nuevo y por tanto existe un polinomio de grado \( 5 \).

Como se observa en ningún caso va a existir un polinomio de grado \( 4 \). Por tanto la respuesta es que no existe un valor de \( k\in\Bbb{R} \) de manera tal que el polinomio que pase por \( 6 \) puntos sea de grado \( 4 \).

¿Es correcta la justificación? ¿Está bien redactada?

No estoy muy convencido de por qué justifiqué para \( k\neq21 \) de esa manera ???.

Gracias!!
Saludos

26 Julio, 2019, 10:21 am
Respuesta #1

Masacroso

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Todo bien pero la justificación de que si \( k\neq 21 \) entonces \( P \) tiene grado \( 5 \) no es clara. Si añades el punto \( (4,k) \) en el cuadro te puede dar, a lo sumo, dos valores positivos en la última columna, entonces \( f[0,1,3,4]\neq 0 \), etc...

Deberías escribir las diferencias divididas \( f[0,1,3,4] \) y \( f[1,3,4,5] \) en función de \( k \) y ver qué valores de \( k \) hacen que \( f[0,1,3,4,5]\neq 0 \), y entonces ver qué valores toma entonces \( f[0,1,3,4,5,6] \).

27 Julio, 2019, 12:17 am
Respuesta #2

manooooh

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Hola Masacroso, gracias por tu ayuda

Todo bien pero la justificación de que si \( k\neq 21 \) entonces \( P \) tiene grado \( 5 \) no es clara. (...)

Me lo temía... :D.

(...) Si añades el punto \( (4,k) \) en el cuadro te puede dar, a lo sumo, dos valores positivos en la última columna, entonces \( f[0,1,3,4]\neq 0 \), etc...

1) No entiendo por qué pueden dar, a lo sumo, dos valores y encima positivos.
2) No entiendo qué significa \( f[0,1,3,4]\neq0 \) (me lo enseñaron así de memoria la expresión \( f[x_i,x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3}] \)...).

Deberías escribir las diferencias divididas \( f[0,1,3,4] \) y \( f[1,3,4,5] \) en función de \( k \) y ver qué valores de \( k \) hacen que \( f[0,1,3,4,5]\neq 0 \), y entonces ver qué valores toma entonces \( f[0,1,3,4,5,6] \).

No entiendo.

Creo que hice algo parecido pero mi profesor lo puso como mal.

Lo que yo hice al principio fue interpolar con todos los puntos (\( 6 \) en total), y usar la fórmula progresiva para puntos no necesariamente equidistantes. Me terminó dando una columna de más que sería \( f[x_i,x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3},x_{i+4}] \) donde por la fórmula me queda una única entrada que sería: \( \displaystyle-\frac{17}{12}k+\frac{67}{4} \). Ahí ya el profesor lo puso como mal.

Saludos

27 Julio, 2019, 09:41 am
Respuesta #3

Masacroso

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(...) Si añades el punto \( (4,k) \) en el cuadro te puede dar, a lo sumo, dos valores positivos en la última columna, entonces \( f[0,1,3,4]\neq 0 \), etc...

1) No entiendo por qué pueden dar, a lo sumo, dos valores y encima positivos.
2) No entiendo qué significa \( f[0,1,3,4]\neq0 \) (me lo enseñaron así de memoria la expresión \( f[x_i,x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3}] \)...).

Perdón, quise decir que, a diferencia de cuando \( k=21 \) podrían darte, como máximo, dos valores distintos de cero, los cuales generarían diferencias divididas de mayor nivel a las que tienes en tu tabla, dando lugar a polinomios de grado mayor a dos.

Citar
Deberías escribir las diferencias divididas \( f[0,1,3,4] \) y \( f[1,3,4,5] \) en función de \( k \) y ver qué valores de \( k \) hacen que \( f[0,1,3,4,5]\neq 0 \), y entonces ver qué valores toma entonces \( f[0,1,3,4,5,6] \).

No entiendo.

Creo que hice algo parecido pero mi profesor lo puso como mal.

Lo que yo hice al principio fue interpolar con todos los puntos (\( 6 \) en total), y usar la fórmula progresiva para puntos no necesariamente equidistantes. Me terminó dando una columna de más que sería \( f[x_i,x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3},x_{i+4}] \) donde por la fórmula me queda una única entrada que sería: \( \displaystyle-\frac{17}{12}k+\frac{67}{4} \). Ahí ya el profesor lo puso como mal.

Saludos

No podría decirte si lo que hiciste está bien o porqué tu profesor lo puso como mal. Como te dije yo calcularía las diferencias divididas con el punto \( (4,k) \), y haría lo que ya escribí en mi anterior mensaje.

La fórmula de las diferencias divididas es lo que has utilizado para crear la tabla, que se definen recursivamente como

\( \displaystyle {f[x_{\nu }]:=f(x_{{\nu }}),\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k\}\\
f[x_{\nu },\ldots ,x_{{\nu +j}}]:={\frac  {f[x_{{\nu +1}},\ldots ,x_{{\nu +j}}]-f[x_{\nu },\ldots ,x_{{\nu +j-1}}]}{x_{{\nu +j}}-x_{\nu }}},\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k-j\},\ j\in \{1,\ldots ,k\}} \)

para puntos dados \( \displaystyle (x_{0},f(x_{0})),\ldots ,(x_{{k}},f(x_{{k}})) \). A partir de las diferencias divididas se interpola el polinomio de grado mínimo que pasa por \( m \) puntos de esta manera

\( \displaystyle p(x):=\sum_{k=1}^m f[x_1,\ldots,x_k]\prod_{j=1}^{k-1}(x-x_j) \)

Luego en un momento con más tiempo quizá resuelva el ejercicio, así vemos lo que pasa y queda todo claro.



ACTUALIZACIÓN: éstas son las diferencias divididas

\( \displaystyle{
f[0]=1,\,f[0,1]=\frac{7}{2},\, f[0,1,3]=\frac{1}{2},\, f[0,1,3,4]=\frac{k-21}{12},\\ f[0,1,3,4,5]=\frac{7}{4}-\frac{k}{12},\,f[0,1,3,4,5,6]=\frac{k-21}{24}
} \)

Así se puede ver con claridad lo que pasa al ir variando los valores de \( k \). Podemos ver que no es posible que haya un polinomio de grado cuatro, ya que cuando \( k\neq 21 \) entonces \( f[0,1,3,4,5,6]\neq 0 \) también, por lo que el polinomio sería de grado cinco.