Autor Tema: ¿Es \(\neg\forall xp(x)\to q(x)\) equivalente a \(\exists xp(x)\land\neg q(x)\)?

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19 Julio, 2019, 05:37 am
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manooooh

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Hola!

Tenemos el siguiente enunciado:



Analizar el valor de verdad y justificar: \(\neg(\forall x(p(x)\to q(x)))\) es equivalente a \(\exists x(p(x)\wedge\neg q(x))\).



Falso. Consideremos \( \mathcal{U}=\Bbb{Z} \) y las proposiciones:

\( p(x) = \text{\(x\) es un número par} \)

\( q(x) = \text{\(x\) es un número entero} \)

Claramente es cierto que \(\forall x(p(x)\to q(x))\) (todo número par es de hecho un número entero), así que \(\neg(\forall x(p(x)\to q(x)))\) es falso.

Sin embargo, \(\exists x(p(x)\wedge\neg q(x))\) es cierto, puesto que \( 2 \) pertenece a \( \mathcal{U} \), es un número par y no es un número entero (es un número natural).



¿Está bien justificado?

Yo creo que no porque \( 2 \) sí que es un número entero...

Lo que creo que hace aguas es que \( \exists x(p(x)\vee q(x)) \) no implica que \( \exists x(p(x))\vee\exists x(q(x)) \). Esto se estaría usando en este ejemplo porque \( p\to q\equiv\neg p\vee q \) (¿ven?, aquí aparece una disyunción).



Aunque pensándolo mejor...:

\( \neg(\forall x(p(x)\to q(x))) \) equivale a \( \neg(\forall x(\neg p(x)\vee q(x))) \), que equivale a \( \exists x(\neg(\neg p(x)\vee q(x))) \) que por DeMorgan equivale a \( \exists x(p(x)\wedge\neg q(x)) \), por lo que la proposición sí es verdadera ??? ???.

Gracias!!
Saludos

19 Julio, 2019, 02:14 pm
Respuesta #1

martiniano

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Hola manooooh.

Diría que el único fallo que has cometido es el de considerar que 2 no es entero por ser natural. En eso estás equivocado, ya que los números enteros son los que no tienen decimales, sean positivos o negativos, por lo que todos los números naturales son también enteros.

Saludos.

20 Julio, 2019, 11:48 am
Respuesta #2

martiniano

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Hola.

Sí que hay más fallos. No había visto esto:


¿Está bien justificado?

Yo creo que no porque \( 2 \) sí que es un número entero...

Lo que creo que hace aguas es que \( \exists x(p(x)\vee q(x)) \) no implica que \( \exists x(p(x))\vee\exists x(q(x)) \). Esto se estaría usando en este ejemplo porque \( p\to q\equiv\neg p\vee q \) (¿ven?, aquí aparece una disyunción).



Como ya hemos dicho el 2 es un entero. Lo que te sobra después es ese 'no' en rojo. Por lo que ahí no demuestras nada.

Yo diría que las dos sentencias son equivalentes, y el motivo es lo que dices después:

Aunque pensándolo mejor...:

\( \neg(\forall x(p(x)\to q(x))) \) equivale a \( \neg(\forall x(\neg p(x)\vee q(x))) \), que equivale a \( \exists x(\neg(\neg p(x)\vee q(x))) \) que por DeMorgan equivale a \( \exists x(p(x)\wedge\neg q(x)) \), por lo que la proposición sí es verdadera

Eso es. Un saludo.

20 Julio, 2019, 09:27 pm
Respuesta #3

manooooh

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