Autor Tema: Teorema de diferenciación de Lebesgue

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16 Julio, 2019, 07:45 pm
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pedro diaz

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Buenas tardes.
Estoy estudiando la demostración del teorema de diferenciación de Lebesgue.
Si f es integrable en \( \mathbb{R}{^d} \) entonces:
\( f(x)=\displaystyle\lim_{m(B) \rightarrow{0}}{1/m(B)\displaystyle\int_{B}f(y)dm(y)}  \) para \( c.t.p \) x
Con \( x\in{B} \)

En la prueba se usa que si f es continua en \( \mathbb{R}{^d} \) entonces:
\( f(x)=\displaystyle\lim_{m(B)\rightarrow{0}}{1/m(B)\displaystyle\int_{B}f(y)dm(y)} \forall{x} \)
Con \( x \in{B} \)

Y para probar que esto es así se considera que una función continua es constante a pequeña escala.

Mi pregunta es, cómo pruebo precisamente que toda función continua es constante a pequeña escala.


18 Julio, 2019, 09:46 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Buenas tardes.
Estoy estudiando la demostración del teorema de diferenciación de Lebesgue.
Si f es integrable en \( \mathbb{R}{^d} \) entonces:
\( f(x)=\displaystyle\lim_{m(B) \rightarrow{0}}{1/m(B)\displaystyle\int_{B}f(y)dm(y)}  \) para \( c.t.p \) x
Con \( x\in{B} \)

En la prueba se usa que si f es continua en \( \mathbb{R}{^d} \) entonces:
\( f(x)=\displaystyle\lim_{m(B)\rightarrow{0}}{1/m(B)\displaystyle\int_{B}f(y)dm(y)} \forall{x} \)
Con \( x \in{B} \)

Y para probar que esto es así se considera que una función continua es constante a pequeña escala.

Mi pregunta es, cómo pruebo precisamente que toda función continua es constante a pequeña escala.

No tengo muy claro de cual es el significado preciso del límite.

Considera por ejemplo la función \( f(x,y)=x^2 \) y \( B_n=[-n,n]\times [0,1/n^2] \).

Se tiene que \( m(B_n)=\dfrac{2n}{n^2}=\dfrac{2}{n} \).

Por otra parte:

\( I_n=\dfrac{1}{m(B_n)}\displaystyle\int_{B}x^2=\dfrac{1}{m(B_n)}\cdot \dfrac{1}{n^2}\cdot \displaystyle\int_{-n}^{n}x^2dx=\dfrac{n}{2}\cdot \dfrac{1}{n^2}\cdot \dfrac{2n^3}{3}=\dfrac{n^2}{3} \)

Entonces cuando \( n\to \infty \) se tiene que \( m(B_n)\to 0 \) pero sin embargo \( I_n\to +\infty \). Luego parece que algo falla...

Cosa distinta sería considerar el límite cuando el diámetro de \( B \) tienda a cero.

Saludos.