Autor Tema: Calcular la función

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15 Julio, 2019, 09:24 pm
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Xtimmler

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Hola foro.
En un ejercicio del un totalizador aparece el siguiente enunciado:

Calcula \(  f(x), f(x)>0\textrm{ } \forall{x}\in{R} \), sabiendo que \( f(x) \) satisface

\(  \frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt[]{f(x)}} = x^3  \)
y \( f(0)=1 \)

A mi se me ocurrió hacer la integral de ambos lados entonces me quedaría

\( 2\sqrt[]{f(x)} = \dfrac{x^4}{4} \)
luego
\( f(x) = \dfrac{x^8}{64} \)

entonces la primera condición se cumple pero no la segunda \( f(0)=1 \), se me ocurrió agregarle un +1 remplazando el +C del resultado de la integral pero de esa manera no se vuelve a cumplir la primera condición.

Gracias de antemano al que me pueda ayudar y adjunto una captura del enunciado.

Saludos.

15 Julio, 2019, 09:44 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Si haces la integral en los dos lados te queda:
\( \displaystyle \int_0^x \dfrac{f'(t)}{\sqrt{f(t)}} \ dt = \int_0^x t^3 \ dt  \)
\( 2 \cdot \sqrt{f(x)} - 2 \cdot \sqrt{f(0)} = 2 \cdot \sqrt{f(x)} - 2 = \dfrac{x^4}{4}  \) y sigue...

15 Julio, 2019, 10:03 pm
Respuesta #2

Xtimmler

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Si haces la integral en los dos lados te queda:
\( \displaystyle \int_0^x \dfrac{f'(t)}{\sqrt{f(t)}} \ dt = \int_0^x t^3 \ dt  \)
\( 2 \cdot \sqrt{f(x)} - 2 \cdot \sqrt{f(0)} = 2 \cdot \sqrt{f(x)} - 2 = \dfrac{x^4}{4}  \) y sigue...

Perdón todavía no vi ese tipo de integrales con x arriba y 0 abajo pero supongo que es lo mismo.

yo hice la integral de esta manera:

\( \int_ 0^x \dfrac{f^{\prime}(x)}{\sqrt[]{f(x)}}dx \)

Remplazo \( f(x) \) con \( Z \) entonces \( dx = \dfrac{dz}{f^{\prime}(x)} \)
se cancelan las \( f^{\prime}(x) \)

\(  \int_ 0^x \dfrac{1}{\sqrt[]{z}}dz  \)

\(  \int_ 0^x  z^{-1/2} dz  \)

Resuelvo la integral

\( 2\sqrt[ ]{z} \)

\( 2\sqrt[ ]{f(x)} \)

eso lo iguale a la integral de \( x^3 \) y seguí de ahí.

15 Julio, 2019, 10:05 pm
Respuesta #3

ingmarov

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Si, al integrar, agregas la constante de integración c=1 ya te resultará

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

15 Julio, 2019, 10:26 pm
Respuesta #4

Xtimmler

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Si, al integrar, agregas la constante de integración c=1 ya te resultará

Saludos

no te entiendo,

\( \dfrac{\frac{x^7}{8}}{\sqrt[]{\frac{x^8}{64}}} = x^3  \)
en este caso esta bien pero si le agrego el +1
\( \dfrac{\frac{x^7}{8}}{\sqrt[]{\frac{x^8}{64}+1}} \)
ya no es igual a \( x^3 \)

15 Julio, 2019, 10:38 pm
Respuesta #5

ingmarov

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Si, al integrar, agregas la constante de integración c=1 ya te resultará

Saludos

no te entiendo,

\( \dfrac{\frac{x^7}{8}}{\sqrt[]{\frac{x^8}{64}}} = x^3  \)
en este caso esta bien pero si le agrego el +1
\( \dfrac{\frac{x^7}{8}}{\sqrt[]{\frac{x^8}{64}+1}} \)
ya no es igual a \( x^3 \)

Había olvidado el 2 que pongo en rojo

\( {\bf\color{red}2}\sqrt{f(x)}=\dfrac{x^4}{4}+c \)

Dividimos todo entre 2, nos queda

\( \sqrt{f(x)}=\dfrac{x^4}{8}+c/2 \)        y. dado que f(0)=1. Entonces c=2

\( \sqrt{f(x)}=\dfrac{x^4}{8}+1 \)

\( \therefore f(x)=\dfrac{x^8}{64}+\dfrac{x^4}{4}+1 \)

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

15 Julio, 2019, 11:32 pm
Respuesta #6

Xtimmler

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Si, al integrar, agregas la constante de integración c=1 ya te resultará

Saludos

no te entiendo,

\( \dfrac{\frac{x^7}{8}}{\sqrt[]{\frac{x^8}{64}}} = x^3  \)
en este caso esta bien pero si le agrego el +1
\( \dfrac{\frac{x^7}{8}}{\sqrt[]{\frac{x^8}{64}+1}} \)
ya no es igual a \( x^3 \)

Había olvidado el 2 que pongo en rojo

\( {\bf\color{red}2}\sqrt{f(x)}=\dfrac{x^4}{4}+c \)

Dividimos todo entre 2, nos queda

\( \sqrt{f(x)}=\dfrac{x^4}{8}+c/2 \)        y. dado que f(0)=1. Entonces c=2

\( \sqrt{f(x)}=\dfrac{x^4}{8}+1 \)

\( \therefore f(x)=\dfrac{x^8}{64}+\dfrac{x^4}{4}+1 \)

Saludos


muchísimas gracias.

 :aplauso: :aplauso: :aplauso:

Esa es la solución.