Autor Tema: Resolubilidad por radicales 2

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19 Julio, 2019, 05:12 am
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Julio_fmat

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Sea \( f(x)=x^3+px+q\in \mathbb{Q}\left[x\right]. \) Sea \( K\subseteq \mathbb{C} \) campo de descomposicion de \( f \) y sean \( \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \) las raices de \( f \) en \( K \). Supongamos que \( \alpha_1\in \mathbb{R} \) y \( \alpha_3=\overline{\alpha_2} \) tal que \( \alpha_3,\overline{\alpha_2}\in \mathbb{C}. \)

c) Sean \( u=\alpha_1+\varepsilon \alpha_2+\varepsilon^2 \alpha_3 \) y \( v=\alpha_1+\varepsilon^2\alpha_2+\varepsilon \alpha_3 \) donde \( \varepsilon \) es raiz primitiva cubica. Mostrar que \( u^3,v^3\in L \) y que \( K=L(u)=L(v). \)

d) Ocupando las siguientes identidades:

\( u^3=\dfrac{1}{2}(-27q-3i\sqrt{3}d) \)

\( v^3=\dfrac{1}{2}(-27q+3i\sqrt{3}d) \)

Encontrar una formula para \( \alpha_1 \) en terminos de \( p \) y \( q. \)

Hola, para la d) me queda lo siguiente:

\( \alpha_1=\dfrac{1}{2}[(u+v)-(\alpha_2+\alpha_3)(\varepsilon+\varepsilon^2)] \).
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