Autor Tema: Clasificación de grupos abelianos

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

09 Julio, 2019, 04:55 am
Leído 355 veces

Julio_fmat

  • Héroe
  • Mensajes: 2,204
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Fmat
Clasificar salvo isomorfismo todos los grupos abelianos de orden \( 162 \) y además identificar cuales de ellos tienen un elemento de orden \( 9. \) Justificar la respuesta.

Hola, hice un desarrollo, pero me cuesta ver cuales de los grupos tienen un elemento de orden 9..

Por el Teorema de clasificación de los grupos abelianos finitamente generados tenemos que \( 162=81\cdot 2=2\cdot 3^4. \) Luego

\( K_1=\mathbb{Z}_2\oplus \mathbb{Z}_{81} \)

\( K_2=\mathbb{Z}_2\oplus \mathbb{Z}_3\oplus \mathbb{Z}_3\oplus \mathbb{Z}_3\oplus \mathbb{Z}_3 \)

\( K_3=\mathbb{Z}_2\oplus \mathbb{Z}_9\oplus \mathbb{Z}_9 \)

\( K_4=\mathbb{Z}_9\oplus \mathbb{Z}_{18} \)

\( K_5=\mathbb{Z}_6\oplus \mathbb{Z}_{27} \)

¿Está correcto?
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

12 Julio, 2019, 07:55 pm
Respuesta #1

martiniano

  • Héroe
  • Mensajes: 1,063
  • País: es
  • Karma: +2/-0
  • Sexo: Masculino
Yo lo veo bien.

Diría que el único que no tiene ningún elemento de orden nueve es el segundo que has puesto. Sus elementos son todos de orden 2,3 o 6.

Saludos.

PD Espera. Ten cuidado. El tercero y el cuarto son isomtorfos. 

PD 2. Vaya. Y falta \( \mathbb{Z_2\times{Z_9\times{Z_3\times{Z_3 }}}} \)  ;D