Autor Tema: Ecuación diferencial gravitacional

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13 Julio, 2019, 09:44 pm
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sedeort

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Quisiera saber si existe una solución analítica a la simple ecuación diferencial:

                  \( r'' = - k / r^2 \)         con k>0



Os dejo la interpretación física de esta expresión:
\( r(t) \) sería la distancia de separación en función del tiempo de dos cuerpos que se atraen gravitatoriamente según la teoría elemental de Newton.
k es una constante positiva que depende de las masas que interaccionan, \( k=G(M+m) \)

En el subforo de Física también he abierto un problema práctico relacionado con esta ecuación.

14 Julio, 2019, 01:09 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

Claro que la hay, entendiendo la solución como una relación entre la velocidad y la posición;  multiplica ambos miembros de la ecuación por \( r' \) e integra ambos miembros desde \( t=0 \) hasta un t genérico; para la integración utiliza el método de sustitución para ambos integrales. Ten en cuenta que para t=0, la posición de la masa es \( r(0)=r_0 \) y su velocidad \( v_0 \) ambos son datos necesarios para que se encuentre la solución.

Saludos

14 Julio, 2019, 09:20 am
Respuesta #2

sedeort

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Hola, delmar.
Yo estoy buscando la solución r(t).
La solución r (r'), o relación entre distancia y velocidad  como tú dices, es fácil de encontrar. Sería ésta:
                     \( (r')^2 = C + 2k/r \)
C es una constante de integración (identificable bajo unas condiciones de contorno, o iniciales como dices).

Pero la verdadera ecuación de movimiento es  r(t), relación distancia-tiempo, que es la que pido. Y este problema tiene una solución real pero no sé si existe una expresión analítica o me tengo que conformar con soluciones numéricas.

Un saludo

14 Julio, 2019, 05:52 pm
Respuesta #3

AlexFeynman

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Puede que sea esto lo que estás buscando pero no estoy muy seguro
Saludos.

16 Julio, 2019, 12:11 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Quisiera saber si existe una solución analítica a la ecuación diferencial siguiente:

                  \( r'' = - k / r^2 \)         con k>0



Os dejo una interpretación física de esta expresión:
r(t) sería la ecuación de la posición de un cuerpo, o distancia en función del tiempo, en su movimiento hacia el origen de un campo gravitatorio elemental (el creado por otra masa puntual según la teoría gravitacional de Newton).
k es una constante positiva (que depende de las masas que interaccionan)

En el subforo de Física también he abierto un problema práctico relacionado con esta ecuación.

Mira por aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/1781/can-this-gravitational-field-differential-equation-be-solved-or-does-it-not-sho

Saludos.

16 Julio, 2019, 03:23 pm
Respuesta #5

sedeort

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Gracias, Alex y Luis, por vuestros enlaces.
Creo que lo de Fuentes se ajusta más a lo que pedía. Cuando tenga tiempo profundizaré en esa conversación para ver qué saco en claro (se mencionan 2 posibles soluciones de 2 usuarios distintos. A ver cuál es la correcta)







18 Julio, 2019, 09:46 pm
Respuesta #6

sedeort

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Estoy muy contento porque finalmente sí pude integrar aquella ecuación intermedia que puse:
                             \( (r')^2 = C + 2k/r \)

Imponiendo como condiciones de contorno: para \( t=0 \), \( r=r_0 \) y \( r'=0 \)  (así  \( C=-2k/r_0 \))
 y utilizando el cambio de variable \( {r=r_0cos^2 \theta} \)
me sale como solución esta expresión final:


                                                              \( t = ( \theta + \frac{sen 2 \theta}{2})\sqrt[]{\frac{r_0^3}{2k}} \)

Espero no haberme equivocado, jeje.