Autor Tema: Conjuntos Finitos

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09 Julio, 2019, 05:11 pm
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mariia

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Hola buenos días, me podrían ayudar con este ejercicio. Gracias

Sean \( A \) y \( B \) conjuntos finitos. Muestre que si \( \left |{A}\right |\leq{\left |{B}\right |} \) entonces existe \( f:A\longrightarrow{B} \) inyectiva y \( g:B\longrightarrow{A} \) sobreyectiva.

Nose si estoy bien pero tengo por hipótesis dos funciones que van de \( \left\{{1,2,......,n}\right\}\longrightarrow{A} \) y
\( \left\{{1,2,......,n}\right\}\longrightarrow{B} \) biyectivas y tambien una funcion que va de \( A\longrightarrow{B} \) inyectiva. Entonces tengo que hallar una función de \( B\longrightarrow{A} \) sobreyectiva?????

18 Julio, 2019, 10:29 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola buenos días, me podrían ayudar con este ejercicio. Gracias

Sean \( A \) y \( B \) conjuntos finitos. Muestre que si \( \left |{A}\right |\leq{\left |{B}\right |} \) entonces existe \( f:A\longrightarrow{B} \) inyectiva y \( g:B\longrightarrow{A} \) sobreyectiva.

Nose si estoy bien pero tengo por hipótesis dos funciones que van de \( \left\{{1,2,......,n}\right\}\longrightarrow{A} \) y
\( \left\{{1,2,......,n}\right\}\longrightarrow{B} \) biyectivas y tambien una funcion que va de \( A\longrightarrow{B} \) inyectiva. Entonces tengo que hallar una función de \( B\longrightarrow{A} \) sobreyectiva?????

Todo depende de que definiciones estás manejando.

Que un conjunto sea finito, por lo que pones, parece que lo defines como que existe una biyección con un conjunto de naturales \( \{1,2,3,\ldots,n\} \).

Que \( |A|\leq |B| \) por definición significa que existe una aplicación inyectiva:

\( f:A\to B \)

(aunque tal como está redactado el enunciado pareciera que te pidan que justifiques la existencia de tal aplicación: pero en principio es por definición).

Para construir \( g:B\to A \) sobreyectiva sea  \( a_0\in A \).

Define:

- Si \( b\in Im(g) \), \( g(b)=a \) donde \( a \) es el único elemento de \( A \) tal que \( f(a)=b \). Su existencia y unicidad está garantizado por la inyectividad de \( f \).

- Si \( b\not\in Im(g) \), \( g(b)=a_0 \).

Saludos.

24 Julio, 2019, 05:23 am
Respuesta #2

mariia

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Ok, muchas gracias