Autor Tema: Integrabilidad de una función convexa en coordenadas

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11 Julio, 2019, 09:59 pm
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elimogo

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Suponga que,

i) \( (\Omega_1 ,\mathcal{A},\mu) \), \( (\Omega_2 ,\mathcal{B},\upsilon) \) son espacios medibles.

ii) \( p:\Omega_1 \rightarrow{\mathbb{R}}, p\in{L^1 (\mu)} \) y \( w:\Omega_2 \rightarrow{\mathbb{R}}, w\in{L^1 (\upsilon)} \) son funciones no negativas tales que, \( \displaystyle\int_{\Omega_1}^{}pd\mu\neq{0} \), \( \displaystyle\int_{\Omega_2}^{}wd\upsilon\neq{0} \),

iii)\( g:\Omega_1 \rightarrow{{I}}, g\in{L^\infty (\mu)} \) y \( h:\Omega_2 \rightarrow{J}, h\in{L^\infty (\upsilon)} \), \( I,J\subset{\mathbb{R}} \)

iv) \( \varphi:I \)x\( J\rightarrow{\mathbb{R}} \) es convexa en coordenadas sobre \( I \)x\( J \).

Entonces, por ejemplo aplicando la desigualdad de Jensen en la primera coordenada tenemos que;

     \( \varphi(\bar{g},h)\leq{\displaystyle\frac{1}{P}\displaystyle\int_{\Omega_1}^{}p\varphi(g,h)d\mu} \)   (1)

  donde \( P=\displaystyle\int_{\Omega_1}^{}pd\mu \) y \( \bar{g}=\displaystyle\frac{1}{P}\displaystyle\int_{\Omega_1}^{}pgd\mu \).

Entonces, ¿como puedo justificar que puedo integrar la desigualdad (1) sobre \( \Omega_2 \)?
Necesito integrarla, pero no sé si exista la integral sobre \( \Omega_2 \) en ambos lados la desigualdad (1).

Gracias de antemano.