[mgb]

Buenas noches, tengo este ejercicio que me quedo la duda si lo hice bien.
Sin resolver la integral, hallar el polinomio de Taylor de orden \( 2 \) de \( g(x)=2-\displaystyle\int_{1}^{x^2}\displaystyle\frac{2t}{(1+t)^2}dt \) cuando \( a=1 \) para calcular \( g(1,1) \)

Comenze resolviendo y \( g(x)=2-\displaystyle\int_{1}^{x^2}\displaystyle\frac{2t}{(1+t)^2}dt=2-\displaystyle\frac{2x^2}{(1+x^2)^2}.2x= \displaystyle\frac{-4x^3+2x^4+4x^2+2}{x^4+2x^2+1} \)
Con este ultimo resultado \( g(x)=\displaystyle\frac{-4x^3+2x^4+4x^2+2}{x^4+2x^2+1} \)
debería derivar 2 veces por ser orden 2 y reemplazar \( x=1.1 \)
Tengo la duda por que me quedo muy grande la derivada, ademas no tengo la respuesta. ¿consideran correcto mi planteo?
Muchas gracias por leer.
Corrigo usaria \( x=1.1 \) en \( P2(x)=g(1)+g'(1).(x-1)+\displaystyle\frac{g''(1)}{2!}.(x-1)^2 \)

[ingmarov]

Hola

Lo que has hecho me parece raro, pero ignoro muchas cosas. Yo hubiera pensado en resolver así,

\( \displaystyle\dfrac{2t}{(1+t)^2}=\dfrac{2(t+1)-2}{(1+t)^2}=\dfrac{2}{1+t}-\dfrac{2}{(1+t)^2}=2\left(\dfrac{1}{1+t}-\dfrac{1}{(1+t)^2}\right) \)     (1)

Primero

\( \displaystyle\dfrac{d}{dt}\left(\frac{1}{1+t}\right)=-\dfrac{1}{(1+t)^2} \)

Por otro lado

\( \displaystyle\dfrac{1}{1+t}=\dfrac{1}{(2+t-1)}=\dfrac{1}{2-(-(t-1))}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{1-(-1/2(t-1))}=\dfrac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1/2)^n(t-1)^n\approx \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}(t-1)+\frac{1}{4}(t-1)^2\right) \)


Al sustituir en (1) resulta


\( \displaystyle\dfrac{2t}{(1+t)^2}=\bf 2\left(1-\frac{1}{2}(t-1)+\frac{1}{4}(t-1)^2+\displaystyle\dfrac{d}{dt}\left(\frac{1}{1+t}\right)\right) \)

Luego sustituiría lo que he puesto en negrita en lugar del integrando.



Saludos

[mgb]

Hola

Lo que has hecho me parece raro, pero ignoro muchas cosas. Yo hubiera pensado en resolver así,

\( \displaystyle\dfrac{2t}{(1+t)^2}=\dfrac{2(t+1)-2}{(1+t)^2}=\dfrac{2}{1+t}-\dfrac{2}{(1+t)^2}=2\left(\dfrac{1}{1+t}-\dfrac{1}{(1+t)^2}\right) \)     (1)

Primero

\( \displaystyle\dfrac{d}{dt}\left(\frac{1}{1+t}\right)=-\dfrac{1}{(1+t)^2} \)

Por otro lado

\( \displaystyle\dfrac{1}{1+t}=\dfrac{1}{(2+t-1)}=\dfrac{1}{2-(-(t-1))}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{1-(-1/2(t-1))}=\dfrac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1/2)^n(t-1)^n\approx \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}(t-1)+\frac{1}{4}(t-1)^2\right) \)


Al sustituir en (1) resulta


\( \displaystyle\dfrac{2t}{(1+t)^2}=\bf 2\left(1-\frac{1}{2}(t-1)+\frac{1}{4}(t-1)^2+\displaystyle\dfrac{d}{dt}\left(\frac{1}{1+t}\right)\right) \)

Luego sustituiría lo que he puesto en negrita en lugar del integrando.



Saludos

Buenas noches gracias por la ayuda. Voy a revisar ,si la verdad no estoy seguro de lo que hice me guíe por ejercicios parecidos. La consigna es correcta y se caracterizan por la consigna "resolver sin resolver la integral". Mi problema que no tengo las soluciones a los problemas para verificar

[geómetracat]

Este ejercicio está pensado para que calcules las derivadas usando el teorema fundamental del cálculo. Así no necesitas calcular la integral para nada.

[ingmarov]

Editado

En esta página hacen algo similar a tu desarrollo, aunque siempre integran.

https://study.com/academy/lesson/using-taylor-series-to-approximate-definite-integrals.html

Este ejercicio está pensado para que calcules las derivadas usando el teorema fundamental del cálculo. Así no necesitas calcular la integral para nada.

Ahhhh, interresante.


A ver una prueba

\( \displaystyle\int_1^{x^2}\dfrac{2t}{(1+t)^2}=\left(\dfrac{2x^2}{(1+x^2)^2}(t-1)+\dfrac{-2x^2+2}{{\bf 2}(1+x^2)^3}(t-1)^2+\dfrac{4x^2-8}{{\bf 3}\cdot2!(1+x^2)^4}(t-1)^3\right)\Big\vert_1^{x^2} \)

Y evaluando los límites la integral queda

\( \displaystyle\int_1^{x^2}\dfrac{2t}{(1+t)^2}=\dfrac{2x^2}{(1+x^2)^2}(x^2-1)+\dfrac{-2x^2+2}{{\bf 2}(1+x^2)^3}(x^2-1)^2+\color{red}\dfrac{4x^2-8}{{\bf 3!}(1+x^2)^4}(x^2-1)^3 \)

Como el término en rojo tiene grado tres no era necesario.

Entonces

\( g(x)=2-\dfrac{2x^2}{(1+x^2)^2}(x^2-1)-\dfrac{-2x^2+2}{{\bf 2}(1+x^2)^3}(x^2-1)^2 \)


Creo que está bien, gracias!
 todos los días aprendemos en este foro....


Saludos

[mgb]

Editado

En esta página hacen algo similar a tu desarrollo, aunque siempre integran.

https://study.com/academy/lesson/using-taylor-series-to-approximate-definite-integrals.html

Este ejercicio está pensado para que calcules las derivadas usando el teorema fundamental del cálculo. Así no necesitas calcular la integral para nada.

Ahhhh, interresante.


A ver una prueba

\( \displaystyle\int_1^{x^2}\dfrac{2t}{(1+t)^2}=\left(\dfrac{2x^2}{(1+x^2)^2}(t-1)+\dfrac{-2x^2+2}{{\bf 2}(1+x^2)^3}(t-1)^2+\dfrac{4x^2-8}{{\bf 3}\cdot2!(1+x^2)^4}(t-1)^3\right)\Big\vert_1^{x^2} \)

Y evaluando los límites la integral queda

\( \displaystyle\int_1^{x^2}\dfrac{2t}{(1+t)^2}=\dfrac{2x^2}{(1+x^2)^2}(x^2-1)+\dfrac{-2x^2+2}{{\bf 2}(1+x^2)^3}(x^2-1)^2+\color{red}\dfrac{4x^2-8}{{\bf 3!}(1+x^2)^4}(x^2-1)^3 \)

Como el término en rojo tiene grado tres no era necesario.

Entonces

\( g(x)=2-\dfrac{2x^2}{(1+x^2)^2}(x^2-1)-\dfrac{-2x^2+2}{{\bf 2}(1+x^2)^3}(x^2-1)^2 \)


Creo que está bien, gracias!
 todos los días aprendemos en este foro....


Saludos

Muchas gracias ambos. Buen dia, disculpen la demora pero me quede dormido.