Autor Tema: Hallar la mínima distancia

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07 Julio, 2019, 12:20 pm
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martinweiner

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Hola comunidad, estoy teniendo un problema con este ejercicio,  que dice: utilizando como herramienta al cálculo, hallar la mínima distancia del origen al plano de ecuación \( x-2y+z-1=0 \)
la fórmula es\(  (x-2y+z-1)/\sqrt{1^2+2^2+1^2} \).  que me da \( 1/\sqrt{6} \), pero me dice que tengo hacerlo por cálculo que la fórmula es \( d^2= x^2+y^2+z^2 \), pero no sé como continuarlo al derivar. sería de mucha ayuda sus respuestas!
Gracias.

07 Julio, 2019, 05:37 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Bienvenido martinweiner.
Antes de nada, recuerda que debes leer las reglas del foro y escribir las fórmulas de tu mensaje en LaTeX. Por esta vez te las hemos puesto en LaTeX.

Sobre tu duda, lo más usual en este tipo de problemas de extremos condicionados es usar multiplicadores de Lagrange.
De todas formas, en este caso, como la ecuación de la recta es lineal, hay una alternativa más sencilla. La idea es despejar una variable de la recta en función de las otras, y sustituir en la función \( d^2 \). Así obtienes una función de dos variables de la que puedes encontrar el mínimo.

La observación clave es que los puntos del plano que te dan son los de la forma \( (2y-z+1,y,z) \) para algún \( y,z \), así que minimizar la distancia del origen al plano que te dan es exactamente lo mismo que encontrar el punto de la forma \( (2y-z+1,y,z) \) que minimiza la distancia al origen. La ventaja de expresarlo así es que ahora las variables \( y,z \) no están sometidas a ninguna ligadura, a diferencia de lo que pasaba con \( (x,y,z) \) que tenían la restricción extra de cumplir la ecuación del plano.

Así que puedes calcular el valor de \( (y,z) \) que minimiza la función (igualando a cero el gradiente)
\( d^2(y,z) = (2y-z+1)^2+y^2+z^2 \)
y sustituir en la fórmula para encontrar la distancia mínima. Si lo haces bien, sale efectivamente \( 1/\sqrt{6} \).
 

 
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

07 Julio, 2019, 07:46 pm
Respuesta #2

ingmarov

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Hola

Otra forma no usual, supongo y no mejor, es trabajar con coordenadas esféricas. Entonces tendremos que minimizar r.

El plano es

\( rsin(\theta)cos(\varphi)-2r\, sen(\theta)sen(\varphi)+r\, cos(\theta)+1=0 \)

Entonces

\( r=\dfrac{1}{sin(\theta)(cos(\varphi)-2sen(\varphi))+cos(\theta)} \)

Se deberá minimizar r función de dos variables ó equivalentemente maximizar su denominador

\( d=sin(\theta)(cos(\varphi)-2sen(\varphi))+cos(\theta) \)


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

10 Julio, 2019, 07:03 pm
Respuesta #3

martinweiner

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Muchisimas gracias, pude hacerlo con sus ayudas.