Saludos, juan luis, y al resto de participantes y visitantes.
Creo que lo que voy a exponer aquí es más o menos lo mismo que explicó Luis Fuentes, aunque desarrollado de una manera algo distinta. Si no me he equivocado en las demostraciones, el término \( \displaystyle B \) de los primos de la forma \( \displaystyle 2\cdot B+3 \) es necesariamente un valor del polinomio indicado \( \displaystyle A=2\cdot x^2+2\cdot x\cdot y+4\cdot x+3\cdot y \). Es decir, no existen primos de la forma \( \displaystyle 2\cdot B+3 \) tales que \( \displaystyle B\ne A \).
Supongamos que tenemos un primo \( \displaystyle p \) de la forma \( \displaystyle p=2\cdot B+3 \). Tenemos que determinar en qué condiciones se cumple \( \displaystyle B\ne2\cdot x^2+2\cdot x\cdot y+4\cdot x+3\cdot y \). Para ello, planteamos la igualdad \( \displaystyle B=2\cdot x^2+2\cdot x\cdot y+4\cdot x+3\cdot y \), y vemos en qué casos tiene solución. Supondremos, para ello, que tanto \( \displaystyle x \) como \( \displaystyle y \) son enteros.
Reordenando y agrupando términos, tenemos la ecuación de segundo grado:
\( \displaystyle 2\cdot x^2+(2\cdot y+4)\cdot x+3\cdot y-B=0 \)
La solución es:
Spoiler
\( \displaystyle
x=\dfrac{-(2\cdot y+4)\pm\sqrt{(2\cdot y+4)^2-4\cdot2\cdot(3\cdot y-B)}}{2\cdot2} \to \\ \\
x=\dfrac{-2\cdot(y+2)\pm\sqrt{4\cdot y^2+16\cdot y+16-24\cdot y+8\cdot B}}{2\cdot2} \to \\ \\
x=\dfrac{-2\cdot(y+2)\pm\sqrt{4\cdot y^2-8\cdot y+8\cdot B+16}}{2\cdot2} \to \\ \\
x=\dfrac{-2\cdot(y+2)\pm2\cdot\sqrt{y^2-2\cdot y+2\cdot B+4}}{2\cdot2} \to \\ \\
x=\dfrac{-(y+2)\pm\sqrt{y^2-2\cdot y+2\cdot B+4}}{2}
\)
\( \displaystyle x=\dfrac{-(y+2)\pm\sqrt{y^2-2\cdot y+2\cdot B+4}}{2} \)
Puesto que \( \displaystyle x \) es entero, necesitamos que la solución sea entera. Para ello, es necesario que la raíz cuadrada sea entera, y para que eso ocurra, su interior ha de ser un cuadrado entero. También tiene que ocurrir que el numerador de la fracción sea par. Si el interior de la raíz cuadrada es un cuadrado, y si \( \displaystyle y \) es par, el interior de la raíz cuadrada será par al ser la suma de valores pares, por lo que la raíz cuadrada también lo será. Y también será par el valor \( \displaystyle -(y+2) \). Por tanto, su suma será par también. Y si \( \displaystyle y \) es impar, el interior de la raíz cuadrada será impar al ser la suma de un impar con valores pares, por lo que la raíz cuadrada será igualmente impar. Pero el valor de \( \displaystyle -(y+2) \) será igualmente impar al ser la suma de un impar con un par. Y la suma de este valor impar con el de la raíz cuadrada impar será un valor par. Por tanto, tenemos asegurado que si la raíz cuadrada es entera, la solución \( \displaystyle x \) también lo será.
Podemos, por tanto, plantear la ecuación:
\( \displaystyle y^2-2\cdot y+2\cdot B+4=z^2 \)
Que puede verse como una ecuación de segundo grado:
\( \displaystyle y^2-2\cdot y+2\cdot B+4-z^2=0 \)
Su solución vendrá dada por:
Spoiler
\( \displaystyle
y=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(2\cdot B+4-z^2)}}{2\cdot1} \to \\ \\
y=\dfrac{2\pm\sqrt{4-4\cdot2\cdot B-4\cdot4-4\cdot(-z^2)}}{2} \to \\ \\
y=\dfrac{2\pm\sqrt{4-8\cdot B-16+4\cdot z^2}}{2} \to \\ \\
y=\dfrac{2\pm2\cdot\sqrt{1-2\cdot B-4+z^2}}{2} \to \\ \\
y=1\pm\sqrt{z^2-2\cdot B-3}
\)
\( \displaystyle y=1\pm\sqrt{z^2-2\cdot B-3} \)
Volvemos a estar en la misma situación que antes, que es que necesitamos que \( \displaystyle y \) sea entero, lo que significa que la raíz cuadrada debe ser entera, lo que significa que su interior ha de ser un cuadrado entero. Podemos plantear la ecuación:
\( \displaystyle z^2-2\cdot B-3=t^2 \)
Esta ecuación puede verse como:
\( \displaystyle 2\cdot B+3=z^2-t^2 \)
Obsérvese que tenemos el valor \( \displaystyle 2\cdot B+3 \) expresado como una diferencia de cuadrados. Puesto que \( \displaystyle 2\cdot B+3 \) es impar, siempre podrá expresarse como una diferencia de cuadrados, independientemente de que sea primo o compuesto, lo que significa que siempre encontraremos una solución, entera en este caso.
Lo que buscamos es un valor para \( \displaystyle z \). Para obtenerlo, obsérvese que podemos escribir lo anterior como \( \displaystyle 2\cdot B+3=(z+t)\cdot(z-t) \). Sea ahora una expresión de \( \displaystyle 2\cdot B+3 \) como producto de dos enteros de la forma \( \displaystyle 2\cdot B+3=r\cdot s \), con \( \displaystyle r\le s \) (donde \( \displaystyle r \) puede tomar el valor \( \displaystyle 1 \), caso que ocurrirá cuando \( \displaystyle 2\cdot B+3 \) sea primo). Entonces tenemos que \( \displaystyle 2\cdot B+3=s\cdot r=(z+t)\cdot(z-t) \), donde podemos plantear las igualdades:
\( \displaystyle
s=z+t \\ \\
r=z-t
\)
Se deduce de dichas igualdades que \( \displaystyle z=\dfrac{s+r}{2} \). Obtenido \( \displaystyle z \), podemos obtener \( \displaystyle x \) e \( \displaystyle y \), que serán una solución a la ecuación \( \displaystyle B=2\cdot x^2+2\cdot x\cdot y+4\cdot x+3\cdot y \), independientemente de que \( \displaystyle 2\cdot B+3 \) sea primo o compuesto. Es decir, no existen primos de la forma \( \displaystyle 2\cdot B+3 \) tales que la ecuación \( \displaystyle 2\cdot x^2+(2\cdot y+4)\cdot x+4\cdot x+3\cdot y=B \) no tenga solución entera.
Podemos obtener todas las soluciones enteras calculando todas las expresiones de \( \displaystyle 2\cdot B+3 \) como diferencia de cuadrados y determinando todos los valores de \( \displaystyle x \) e \( \displaystyle y \) a partir de los valores de \( \displaystyle z \) hallados.
feriva y geómetracat, mientras escribía esto habéis escrito unas entradas. Creo que esto responde a las dudas planteadas. Indica que no existen primos con las características indicadas, y además proporciona una forma de obtener los valores de \( \displaystyle x \) e \( \displaystyle y \) que dan el valor de \( \displaystyle B \) cuando se aplican al polinomio \( \displaystyle 2\cdot x^2+2\cdot x\cdot y+4\cdot x+3\cdot y \). Todo esto si no me he equivocado, claro
.
