Autor Tema: Criterios matemáticos. Debate. Por Víctor Luis

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04 Agosto, 2019, 02:03 pm
Respuesta #50

Víctor Luis

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Buenas Feriva ...

   Agradezco tu explicación, lo entiendo (el 90% para ser sincero) y si nuestro amigo El_Manco nos lo explicaba, un tanto más formalmente ... Pero cuando dices: "... lo hago con Fermat, sí el resto no es 1, no es primo ..."  (Disculpa si no lo pongo como cita, pues no me doy en copiar y pegar con el celular táctil) continuando... y como ya te lo dije, el criterio de solo considerar restos:  r(1) ó r(-1) ... no es suficiente, y todo parte de la insuficiencia de Fermat con su pequeño teorema donde:  2^(p-1) mod p = r(1)  que si bien cumplen todos los primos (naturales impares) este criterio de primalidad, también lo cumplen muchos naturales compuestos. Ahora, en mi criterio, Miller con Rabin solo hacen una generalización en base al criterio de Fermat, cuyo pequeño teorema no dice nada sobre 'primalidad' y si me dicen que sí, tendríamos que considerar primalidad el hecho de que los primos son naturales Impares ó que son de la forma (n6+1) (n6-1) ... Y es que nuestro Fermat fue más cauto en quedarse con su teorema, mientras que el dúo Miller Rabin de arriesgaron en ir un poco más, generalizando un criterio, sin antes preguntarse y saber, de dónde viene ese r(1) ó r(-1) más que todo debieron antes llegar a saber, lo que Fermat supongo ya sospechaba y es el Enfoque Estructural; pero no, levantaron el nombre de Riemann, para apoyar su metodología ... Y es que acaso no debieron antes demostrar la hipótesis de Riemann ? Y es que se basaron en ella verdad? Y si así fuera, me atrevería decir que la hipótesis de Riemann es un trabajo incompleto y no responde a la comprensión sobre la Distribución de los Números Primos.

   Te pongo un par de naturales, donde uno es primo y el otro compuesto:

      n1(2304167)            n2(1103)

•) Sobre la consulta que te hice (disculpa por lo de insistir) tengo clara la respuesta de lo complejo que es para Python el operar con semejante dividendo:  2^(mp-1) y como dices, hay maneras de operarlo con menor complejidad, como el operar desde la potencia y/o exponente en 'binario' para cualquier base 'a' que se necesite.

   * Una misión (sí decides aceptarlo...) Harías un programa para que evalúe y determine la primalidad de todos los 'Mn' Números de Mersenne dados hasta el exponente primo p(21701) que es el Mp [25°] ... No se cuántos primos se dan hasta (21701) solo que tenemos (7236) 'nb' Naturales Base según nuestro Conjunto FV.

   ¿En qué tiempo llevas a cabo esta tarea ó misión? ... empleando un solo y simple ordenador, empleando la metodología que mas te parezca ... (( lo aceptas? ))

•) Continuando con los Mersenne, el Mp [8°] = 2^(31)-1 = (2147483647) = mn  tomamos el natural de 10 cifras en la variable 'mn'. Ahora, tenemos dos divisiones:

   a)   2^(2147483646)  mod mn

   b)   2^(715827882)  mod mn

   c)   2^(35000000)  mod mn

   * Hay diferencia entre estos en cuanto a su complejidad operacional? Y con 'Complejidad Operacional' me refiero, a la dificultad que presenta en realizar la operación de división.

°) Por último, L. Lehmer evalúa con:  r(0)  Fermat con:  r(1)  Miller_Rabin Con:  r(1) r(-1)  y no sabría decir sobre los demás métodos de primalidad que se expondrán en la literatura. En el caso de la PEM evalúa con:  r(c{...})  donde 'c{...}' es el conjunto de cierto tipo de naturales, no dándose uno, dos, tres, ó más valores constantes para 'r' ... ¿Por qué? ... Porque si para mp(2^(3)-1)=(7) de da: r(a) un primer primo de Mersenne, en  mp(2^(5)-1)=(31) de dará:  r(c)  no así un r(a)  Ahora en  mp(2^(7)-1)=(127) de podrá dar:  r(b) u otro, "NUNCA" así:  r(a,c)  porque se dan como únicos y no sé repiten ... Es el criterio de la PEM el cual es "determinista" sin darse un solo fallo al comprobarlo evaluando cada 'Mn' hasta más allá de  Mp[26°]=(2^(23209)-1) empleando un computador Pentium-IV y con los pocos conocimientos que tengo en Python.


Saludos Cordiales .......

04 Agosto, 2019, 04:56 pm
Respuesta #51

feriva

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Hola, Víctor Luis.

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y como ya te lo dije, el criterio de solo considerar restos: r(1) ó r(-1) ... no es suficiente, y todo parte de la insuficiencia de Fermat con su pequeño teorema donde: 2^(p-1) mod p = r(1) que si bien cumplen todos los primos (naturales impares) este criterio de primalidad, también lo cumplen muchos naturales compuestos


Fermat, sí, pero en el de Miller no me falla en ningún caso; si, haciendo las operaciones que decía, y en le paso del test que decía, da resto -1, es primo, no encuentro ningún caso en que no sea primo; si encunetras que esto falla (con un programa bien hecho) te llevas un millón de dólares por demostrar con un ejemplo que la hipótesis de Riemann es falsa :) (vamos, es de suponer).

En caso de que en Miller ,después del primer proceso, dé resto 1, entonces es compuesto seguro, independientemente de la hipótesis de Riemann.

En cuanto a Fermat, pues qué es lo que he estado diciendo, que sí, que los pseudoprimos dan resto 1; en el caso de los Carmichael dan resto 1 para cualquier base que sea un coprimo con “n”, y, después hay pseudoiprimos parciales, que dan resto 1 en algunas bases y en otras no.

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Y es que nuestro Fermat fue más cauto en quedarse con su teorema, mientras que el dúo Miller Rabin de arriesgaron en ir un poco más, generalizando un criterio, sin antes preguntarse y saber, de dónde viene ese r(1) ó r(-1) más que todo debieron antes llegar a saber, lo que Fermat supongo ya sospechaba y es el Enfoque Estructural; pero no, levantaron el nombre de Riemann, para apoyar su metodología ... Y es que acaso no debieron antes demostrar la hipótesis de Riemann ? Y es que se basaron en ella verdad? Y si así fuera, me atrevería decir que la hipótesis de Riemann es un trabajo incompleto y no responde a la comprensión sobre la Distribución de los Números Primos.


Hombre, si se pudiera demostrar estaría estupendo, pero, mientras, sirve para muchas cosas. Como ya te decía, el test sólo es probabilístico ne ese caso concreto cuando dice que un número puede ser primo si resto “-1”, en los demás pasos del test es seguro, también cuando descarta los Carmichael con resto 1; lo puedes en la Wikipedia misma, ahí te lo dice (y hasta donde yo he comprobado, que no es mucho, funciona todo).

Pero puede pasar que no lo descarte, que el test no diga nada o que diga que el resto es “-1” dentro del proceso del programa dicho. En ese caso, para asegurarlo más, se aconseja probar con más bases distintas, para ver si no hay nada contradictorio... Pero hasta ahora no ha pasado nada; ya te digo, es de suponer que un fallo demuestre negativamente, a modo de contraejemplo la hipótesis de Riemann (aunque no estoy del todo seguro, pero no veo cómo podría ser de otra manera).

La hipótesis de Riemann, aunque sea complicada, implica otros resultados que, si se demuestran, también se demuestra la Hipótesis; uno de ellos es éste, lee, que es muy corto:

https://www.cs.upc.edu/~argimiro/mypapers/newspapers/rieman4bachi.html

¿Te das cuenta? Tiene que ver con la cantidad de números libres de cuadrados dados en un intervalo desde 1 hasta “n”, libres de cuadrados como son los Carmichael, por ejemplo.

Recuerdo que, cuando empecé a pensar en la conjetura de Goldbach (al principio, hace ya ocho años o más) los números que no eran múltiplos sólo de primos distintos me daban guerra para visualizar las parejas. También recuerdo que tú mismo, al principio de hablar conmigo en el foro, me comentaste sobre algo que llamabas “múltiplos multicomunes” o algo parecido, que también te daban guerra para visualizar las secuencias y ciclos que buscabas, ¿no? Pues ahí lo tienes, no hace falta tampoco que entendamos bien la función Z de Riemann, pues a todos nos pasa igual, ciertos números “enturbian” especialmente la visión de la distribución de los primos.

Así que, la hipótesis de Riemann no es que se correponda con la distribucción de los números primos, es que es en sí la distribucción de los primos con un cierto vestido; tú puedes verla con otro disfraz... pero al final se trata de desenredar una madeja en la que “se ve que pasa esto” o “se ve que pasa la otro”, pero nadie puede demostrar por qué pasa lo que pasa.

Por otro lado me decías ayer que los números 5, 5+12, 5+12+12... etc., siguen una secuencia en sus útlimas cifras. Eso es una observación, ¿sabes demostrar que siempre va a pasar eso?, ¿no deberías demostrarlo antes de usarlo, como pasa con todo lo que usas sin demostrar? El propio Fermat no supo demostrar su pequeño teorema (no dejó prueba de ello) pero lo usó; y desués, años más tarde, llegaron otros matemáticos que lo demostraron. Y no sólo eso, dejaba sin demostrar casi todo; hasta 1995, hecho que recuerdo bien, no se demostró su llamado Último Teorema.

Así que no es precisamente Fermat un ejemplo en ese sentido, es el ejemplo de lo contrario. Es decir, para hablar con propiedad, el Pequeño toerema de Fermat, ése del resto 1, no es de Fermat, él es el autor de la conjetura, para él fue una hipótesis toda la vida.

...

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Te pongo un par de naturales, donde uno es primo y el otro compuesto:

n1(2304167) n2(1103)


Y qué tengo que hacer con ellos :)

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Sobre la consulta que te hice (disculpa por lo de insistir) tengo clara la respuesta de lo complejo que es para Python el operar con semejante dividendo: 2^(mp-1) y como dices, hay maneras de operarlo con menor complejidad, como el operar desde la potencia y/o exponente en 'binario' para cualquier base 'a' que se necesite.

* Una misión (sí decides aceptarlo...) Harías un programa para que evalúe y determine la primalidad de todos los 'Mn' Números de Mersenne dados hasta el exponente primo p(21701) que es el Mp [25°] ... No se cuántos primos se dan hasta (21701) solo que tenemos (7236) 'nb' Naturales Base según nuestro Conjunto FV.

¿En qué tiempo llevas a cabo esta tarea ó misión? ... empleando un solo y simple ordenador, empleando la metodología que mas te parezca ... (( lo aceptas? ))


Pues ya te digo que tardaré eternamente, porque no sé ningún método eficaz para factorizar los Mersenne de potencias con cuatro o más números; y por lo que he visto de Lucas- Lehmer, me quedaría muy corto para esas potencias. En cuento a usar Miller, sin más cosas o trucos que haya por ahí y no conozco, tampoco podría hacerlo en poco tiempo.

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°) Por último, L. Lehmer evalúa con: r(0) Fermat con: r(1) Miller_Rabin Con: r(1) r(-1) y no sabría decir sobre los demás métodos de primalidad que se expondrán en la literatura. En el caso de la PEM evalúa con: r(c{...}) donde 'c{...}' es el conjunto de cierto tipo de naturales, no dándose uno, dos, tres, ó más valores constantes para 'r' ... ¿Por qué? ... Porque si para mp(2^(3)-1)=(7) de da: r(a) un primer primo de Mersenne, en mp(2^(5)-1)=(31) de dará: r(c) no así un r(a) Ahora en mp(2^(7)-1)=(127) de podrá dar: r(b) u otro, "NUNCA" así: r(a,c) porque se dan como únicos y no sé repiten ... Es el criterio de la PEM el cual es "determinista" sin darse un solo fallo al comprobarlo evaluando cada 'Mn' hasta más allá de Mp[26°]=(2^(23209)-1) empleando un computador Pentium-IV y con los pocos conocimientos que tengo en Python.


Seguro que es así, ya imagino que no lo dices por decir; pero mientras no demuestres rigurosamente (y la demostración sea adeptada) que no pueden fallar lo de esos restos que dices, es tan hipótesis como cualquier otra; no puedes ciriticar los métodos probabilísticos de los demás si los tuyos no están demostrados; que a lo mejor se pueden demostrar, pero si no dices los restos que son ésos ni nada... pues el “no está demostrado” ya lo tenemos de antemano.

Saludos.

10 Agosto, 2019, 11:13 am
Respuesta #52

Víctor Luis

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Buenas Feriva ...


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Así que, la hipótesis de Riemann no es que se correponda con la distribucción de los números primos, es que es en sí la distribucción de los primos con un cierto vestido; tú puedes verla con otro disfraz... pero al final se trata de desenredar una madeja en la que “se ve que pasa esto” o “se ve que pasa la otro”, pero nadie puede demostrar por qué pasa lo que pasa

•) Disculpa que te contradiga Feriva ... Lo digo con el criterio de haber leído la publicación que indicaste, eso de  (1,n) considerando a los naturales libres de cuadrados y entre estos la casi igualdad entre los considerados como: Buenos y/o Malos ... ... En fin, sobre esto que se explica y es parte del criterio de Riemman, ... No nos dice "nada" sobre "primalidad" y por tanto, dudo en mucho que explique o por lo menos nos dé a comprender sobre la Distribución de los Números Primos,  ... Supongo que la Función_Z y demás complementos de su criterio, (que desconozco) responderían a esta problemática, lo que precipitadamente pongo en duda (para mí).

°) Recién comprendo eso de "Naturales Libres de Cuadrados" pues suponía era sólo descartar ó depurar a los cuadrados de naturales, resultando que no sólo a éstos, sino también a los que sean divisibles entre estos cuadrados ... Bueno, no sé en verdad, la finalidad de esto; me refiero al aporte que harían los N. libres de cuadrados en primalidad, conocimiento previo y requisito indispensable para luego comprender sobre la distribución de los primos, es mi criterio personal.

'NB' LIBRES de CUADRADOS en el CONJUNTO FV.
----------------------------------------------------------------------------------
   Considero que ese criterio, también debe aplicarse a otras formas de agrupación como es el Conjunto FV, al menos eso me dije, curioso por saber de cómo se darían estos, donde los 'nb' son naturales Impares no múltiplos de 3, generados desde 4 sucesiones los Grupos PIG(5,7,11,13)

   Diremos que:  "nbc"= nb^(2)  es el cuadrado de un natural base, descartando éste y los que sean divisibles, para obtener al final, naturales base libres de cuadrados.

•) Supuse sería complejo el obtenerlos; pero recordemos que todos los 'nbc' se dan en PIG(13) y que contamos con la SMD(4,2) Secuencia de Múltiplos Directos, con el que generamos los múltiplos de los 'nbc' dados en el intervalo (1,n) mismos que depuramos, en ves de evaluar la divisibilidad de los 'nb' entre los 'nbc'. Veamos:

   nb(5) ... nbc(25)   con SMD(100,50)

        (25) es PIG(13)
        (125) es PIG(5)
        (175) es PIG(7)
        (275) es PIG(11)
        (325) es PIG(13)
        (425) es PIG(5) ...

   Observamos que el grupo PIG de los múltiplos se dan en una misma secuencia que se repite:  PIG (13)(5)(7)(11) ... Sucediendo esto en Todo 'nbc'. Ya con esto se nos facilita el obtener 'nb' libres de cuadrados ... Por ejemplo, en el intervalo (1,313) se tienen  (95) 'nb' libres de cuadrados, siendo (63) Primos y los restantes (32) Compuestos; pero no cualquier tipo de compuestos ... todos son "Compuestos Semiprimos" con dos únicos divisores  (P,Q) que son Primos, que junto al (1) Riemman los consideraría como BUENOS ... ¿Se aplicaría este criterio de buenos y malos al Conjunto FV?  Especulo que no... Más luego te exportare Feriva la continuación de 'nb', su correspondiente 'nbc' y los múltiplos de éste con la SMD dónde encontraremos un dato interesante.

Saludos Cordiales .......

10 Agosto, 2019, 02:13 pm
Respuesta #53

feriva

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Buenos días, Víctor Luis.

Como te dije, yo sé poco sobre la hipótesis de Riemann, tendría que estudiar mucho para comprenderla en toda su extensión; y ya pasando de los 60, que estoy más torpe de lo que he sido siempre... pues ni lo intento :D

Pero algo tengo oído, y no es un enfoque “natural”, como tú puedes sospechar, sino una idea muy curiosa.

Como sabes, todo empieza con una suma, la suma \( \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}...
  \), donde en este caso los denominadores en están elevados a s=1.

Esta serie tiene a infinito, sin embargo, existen trucos para considerar que converge a una cantidad.

No sólo con esa serie, esta suma 1+2+3+4...+n, puede no ser infinita, existe una forma de “extender” el resultado y que sea \( -\dfrac{1}{12}
  \); sí, un número no entero y además negativo; fíjate qué poco natural.

Para demostrarlo, se empieza por la serie de Grandi, que dice que

\( 1-1+1-1+1-1...etc \) hasta infinito, da \( \dfrac{1}{2}
  \); lo cual es otra no es el resultado normal, como ves, el resultado de la serie puede ser cero ó 1... pero ¡cómo va a ser un medio!

Como la suma es asociativa, podemos poner paréntesis así, con lo cual el resultado correcto

\( {\color{blue}S}={\color{blue}1+(-1+1)+(-1+1)...=1+0+0...}=1
   \), o sea, S=1.

Pero también S=0

\( {\color{magenta}S=1-1+1...}=0
   \)

Ahora escribimos la identidad 1-S=1-S teniendo en cuenta S=0:

\( 1-S=1-{\color{magenta}S}=1-0=1={\color{blue}S}
   \)

Entonces podemos escribir

\( 1-{\color{magenta}S}={\color{blue}S}
   \); pues la S azul es el resultado 1;

y de ahí, despejando

\( 1=S+S
  \)

\( 1=2S
  \)

\( \dfrac{1}{2}=S
   \).

Esto no es mentira, en el infinito existen varias verdades, digamos, y se puede elegir, se puede considerar unos axiomas u otros si eso supone alguna utilidad para algo.

En la serie que usa Riemann se considera una extensión de la serie y no su valor “normal”, que en el caso de s=1 (la potencia del denominador igualada a 1) sería infinito claramente.

A partir de ahí (y considerando más cosas) surge una relación asombrosa con los primos de la cual, ya te digo, yo no puedo hablarte mucho.

No sólo tiene que ver con números libres de cuadrados, también tiene que ver con las potencias, obviamente; en ése enlace que te puse se muestra un aspecto de la hipótesis, pero no es el único..

Fíjate en esto que podemos deducir considerando dos intervalos (0,n) y (n,2n); por ejemplo para n=16

\( 0,{\color{magenta}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15},16,{\color{red}17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,}32
  \)

Cualquiera de los números rojos (excepto los que son primos y los libres de cuadrados, que lo había puesto antes y lo borré pensando en las combinaciones con repetición, que es como yo lo hacía esto y me he liado) se puede formar como producto de dos morados. Pero si tomamos todas las combinaciones, los productos, formadas con dos números morados (sin repetir) tenemos, en primer lugar, números que se repiten y no llegan a “n”; por ejemplo, 2*6=12 es lo mismo que 3*4 (siendo 12 un número rosa también) y en segundo lugar tenemos números que se “salen”, números mayores que 32, como, 6*7, 6*8... etc.

La distribución de los primos está totalmente relacionada con esos productos de dos números morados; pues si sacamos al 1 del conjunto, tenemos todos los compuestos rojos y además podemos establecer una relación de orden que nos va a decir cuáles se sitúan antes que otros en el intervalo (n,2n).

Por ejemplo, 3*6>n, es rojo, y es el menor rojo que podemos formar (y el 3 ya no pude formar otra pareja); por tanto luego viene un producto con 4, o sea, le sigue el 4*5... Evidentemente son los primeros en colocarse a la derecha de 16. Pero con “asombro” vemos que 18 no es el primero y 20 no es el segundo ni el tercero, sino el cuarto.

Además, como la parte entera de la raíz cuadrada de 32 es 5, ya sabemos que cualquier producto de 5 y otro número igual o mayor se va a “salir”; por tanto, parece que no tenemos poco material para establecer teóricamente cuál es la distribución de los primos en el intervalo (n,2n).

Pero resulta que hay cuadrados, y cubos... y más potencias; y la cosa se complica notablemente.

No es la cuestión obtener libres de cuadrados, eso es fácil, lo difícil es saber cuántos no libres de cuadrados hay y dónde se colocan dado un intervalo cualquiera en general; y lo mismo con los otros. En la Hipótesis de Riemann parece ser importante si la cantidad de factores de los libres es para o impar; pero no sé decirte ahora por qué, tiene que ver con la función Z.

Esto último que te cuento no es de la Hipótesis de Riemann (estará relacionadísimo casi seguro, pero no sé) es un análisis mío que hice hace tiempo; y creo que te hablé largo y tendido de él cuando discutimos sobre el postulado de Bertrand.

Riemann no considera “divisibilidad” ni “primalidad” (aunque siempre esté relacionada con los números queramos o no) considera cuestiones de distribución de los primos; a Riemann no le interesaba lo de saber si un número aislado era primo o no, le interesaba la distribución, la cantidad de ellos en los intervalos y su colocación, sobre eso vaticina su hipótesis. El que luego otros la empleen para los test y otras cosas, es porque se puede hacer, pero es aparte.

Saludos.

10 Agosto, 2019, 08:17 pm
Respuesta #54

feriva

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°) Recién comprendo eso de "Naturales Libres de Cuadrados" pues suponía era sólo descartar ó depurar a los cuadrados de naturales, resultando que no sólo a éstos, sino también a los que sean divisibles entre estos cuadrados ... Bueno, no sé en verdad, la finalidad de esto; me refiero al aporte que harían los N. libres de cuadrados en primalidad, conocimiento previo y requisito indispensable para luego comprender sobre la distribución de los primos, es mi criterio personal.


Aquí te dejo los primeros cien \( 6n\pm1
  \) compuestos libres de cuadrados, por si encuentras alguna relación con tus PIG o algo (entre corchetes aparece su factorización).

Spoiler
35 [5, 7]
55 [5, 11]
65 [5, 13]
77 [7, 11]
85 [5, 17]
91 [7, 13]
95 [5, 19]
115 [5, 23]
119 [7, 17]
133 [7, 19]
143 [11, 13]
145 [5, 29]
155 [5, 31]
161 [7, 23]
185 [5, 37]
187 [11, 17]
203 [7, 29]
205 [5, 41]
209 [11, 19]
215 [5, 43]
217 [7, 31]
221 [13, 17]
235 [5, 47]
247 [13, 19]
253 [11, 23]
259 [7, 37]
265 [5, 53]
287 [7, 41]
295 [5, 59]
299 [13, 23]
301 [7, 43]
305 [5, 61]
319 [11, 29]
323 [17, 19]
329 [7, 47]
335 [5, 67]
341 [11, 31]
355 [5, 71]
365 [5, 73]
371 [7, 53]
377 [13, 29]
385 [5, 7, 11]
391 [17, 23]
395 [5, 79]
403 [13, 31]
407 [11, 37]
413 [7, 59]
415 [5, 83]
427 [7, 61]
437 [19, 23]
445 [5, 89]
451 [11, 41]
455 [5, 7, 13]
469 [7, 67]
473 [11, 43]
481 [13, 37]
485 [5, 97]
493 [17, 29]
497 [7, 71]
505 [5, 101]
511 [7, 73]
515 [5, 103]
517 [11, 47]
527 [17, 31]
533 [13, 41]
535 [5, 107]
545 [5, 109]
551 [19, 29]
553 [7, 79]
559 [13, 43]
565 [5, 113]
581 [7, 83]
583 [11, 53]
589 [19, 31]
595 [5, 7, 17]
[cerrar]

Saludos.

11 Agosto, 2019, 11:38 am
Respuesta #55

Víctor Luis

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   * Disculpa Amigo; pero estoy en desacuerdo, cuando dices que Riemman sin "divisibilidad" ni "primalidad" estudia la ' Distribucion de los Numeros Primos' ... Y es que acaso puedo estudiar a los Tigres de Bengala, sin antes comprender de estos? con solo saber   que son animales mamiferos y felinos?  un gatito pasaria como pseudoprimo ... Y es que en mi criterio, sin comprender ampliamente lo que es PRIMALIDAD, no se podra lograr comprender de cómo es que se distribuyen los primos, y esto no deberá ser complejo de explicar, porque se deberá enseñar en las escuelas y no restringirse a postgrados universitarios, no crees?


* Sobre tu explicacion de:  (0,n) y (n,2n) Estos son "INTERVALOS" en los cuales, y como ya analizamos tiempo atras, los naturales de (0,n) se complementan con (n,2n) para que por medio de la SUMA, se conforme ' 2n' y por medio de la RESTA, desde (2n) y (0,n) se obtiene (n,2n) y vicebersa. Entre Intervalos, considero no válido el aplicar: Multiplicacion, Division u otros ... En un producto:  m=(p*q)  el punto medioesta dado por la "raiz cuadrada" (rz) donde para  m(30) su raiz es:  rz=5,47 dándose:

   (1,2,3,4,5)
   (6,7,8,9,10,11,12,13,..., 30)

   No se si se denominara "intervalo" tambien a estos, naturales que se dan antes y despues de la raiz cuadrada, cuya cantidad no es igual o con una diferencia minima de (1) ni en una proporcion constante, ya que a mayor 'm', mayor cantidad de naturales en  (rz,m) dados despues de la raiz.


*) Los Multiplos de Cuadrados en el Conjunto FV, que te mencioné te los expongo:

   nb(5) = (25,125,175,275,325,425,...)
   nb(7) = (49,245,343,539,637,833,...)
   nb(11) = (121,605,847,1331,1573,2057,...)
   nb(13) = (169,845,1183,1859,2197,2873,...)
   nb(17) = (289,1445,2023,3179,3757,4913,...)
   nb(19) = (361,1805,2527,3971,4693,6137,...)
   nb(23) = (529,2645,3703,5819,6877,8993,...)

*) Estos 'nb' son los 'PG' Primos de Generacion del Conjunto_V cuya importancia es por hacer una primera clasificacion de 'nb' de acuerdo al Enfoque Estructural ... Me dirás que claro eso yo lo sé; qero ahora, te lo muestro, no todo, sino una parte.

   Recordaras que te dije que descubrí el origen de los divisores de los N. de Mersenne Compuestos, pues bien, tenemos 8 Grupos PG (5,7,11,13,17,19,23,25)  NO te detengas en que (25) no es primo; pero desde este se generan nb con su constante K(24) ... El asunto es que observa la exportacion de cuadrados y sus multiplos, fijate en su "digito final" (ultimo de la derecha) donde encontraras coincidencias, en si igualdades, dandose una clasificacion por asi decirlo, de 4 grupos vs los otros 4, y es que en solo 4 de estos, se daran los divisores de Mersennes Compuestos, y esto desde vuestro Enfoque Natural.


Saludos Cordiales .......

11 Agosto, 2019, 09:17 pm
Respuesta #56

feriva

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Hola, Víctor Luis, buenas tardes.

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Entre Intervalos, considero no válido el aplicar: Multiplicacion, Division u otros ... En un producto:  m=(p*q)  el punto medioesta dado por la "raiz cuadrada"


Pues las raíces uso; y algo más; porque o sí considero multiplicar números.

Lo que digo es que en el intervalo (0,n) tienes factores para elegir dos y multiplicarlos, de manera que puedes encontrar así todos los libres de cuadrados del intervalo (n.2n) y otros más (como podría ser el 4*3, para cierto “n”; que no es libre de cuadrado porque 12 no lo es, pero también se puede considerar).

Pero además, si consideramos los productos de los números por sí mismos (2*2), (3*3). etc,. es decir, los cuadrados perfectos (que supone usar combinaciones con repetición) vamos a tener con esos productos todos, todos los números que hay en (n,2n) más otros que se salen o no llegan al intervalo.

Y sí, son intervalos eso que haces tomando las raíces; en este caso basta con la parte entera de las raíces porque estamos considerando números naturales.

El por qué basta tomar el producto de sólo dos números del intervalo que digo lo demostré en su día y te lo expliqué.

Te lo recuerdo con un ejemplo:

\( {\color{red}0,1},(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12),{\color{blue}13},(14,15,16,117,18,19,20,21,22,23,24,25),{\color{red}26}
  \)

Para esta cuestión quitamos también el 1, es decir, tomo (1,n) en vez de (0,n) porque 1 multiplicado por cualquier número menor que “n” va a estar en ese intervalo, no en el siguiente.

En primer lugar, vemos que necesitamos repeticiones en los productos, como 4*4 para obtener 16, pero también vemos que ya no puede haber otra potencia perfecta de 2 en el intervalo (n, 2n), que en este caso es (13,26).

La razón de ello es que si existe una potencia de dos \( 2^k \) (o potencia de cualquier número que no sea 2) en el intervalo \( (n,2n)
  \), entonces obviamente \( 2^{k}>n
  \); y si existiera otra potencia tendríamos \( n<2^{k}<2^{m}\Rightarrow2^{m}>2n \); y saldría del intervalo, no puede estar ahí (esto te lo expliqué y estuviste muy de acuerdo, ¿recuerdas?). (ahí he editado, que había puesto al revés algunos signos de desigualdad)

En este ejemplo tenemos \( 2^{4}=16
  \), y no tenemos ninguna de las otras por pequeñas o por grandes: no tenemos a \( 2^{2}
  \) ni a \( 2^{3}
  \) ni a \( 2^{5}
  \)... esto es imposible (con 2 u otro número de (n,2n).

Ahora voy a demostrar que no voy a necesitar el producto más de dos factores para obtener cualquier número de (n,2n).

Supongamos por reducción al absurdo que necesitáramos usar tres factores para el producto y no menos; sean los factores a*b*c.

Esos tres factores habrán de estar contenidos en (1,n) pues si alguno estuviera contenido en (n,2n) sería mayor que “n” y, al estar multiplicado por otros dos números, el compuesto sería mayor que 2n y no estaría en (n,2n); obvio, evidente.

Ahora supongamos, por ejemplo, que el producto de dos de ellos, (a*b), está en (n,2n); entonces al multiplicarlo por “c” el compuesto c(a*b) también sería mayor que 2n (aunque “c” valiera 2, que es lo menos que puede valer).

En resumidas cuentas, si \( abc\in(n,2n)
  \), ni “ab”, ni “bc”, ni “ac” pueden estar en (2,n) y, por tanto, están en (1,n).

En conclusión, tendremos siempre dos factores, que podrán ser varios asociando de distintas maneras y dar un mismo número como producto: a(bc) ó b(ac) etc.

Para más de tres factores la demostración de la imposibilidad es análoga (e igualmente obvia). Es decir, en todo caso podremos dejarlos en dos factores asociando de manera similar (abc)*d... o lo que sea.

Así que, como ves, con sólo dos factores tendremos todos los compuestos de (n,2n).

Y queda demostrado (distinto es que hayas entendido o no la demostración; si tienes dudas, lo discutimos o le pedimos a un matemático que lo explique él de forma más rigurosa).

Ahora volvamos al ejemplo que teníamos, lo pego otra vez, para hacer la cuenta a modo de “demostración” empírica también.

\( {\color{red}0,1},(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12),{\color{blue}13},(14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25),{\color{red}26}
  \)

Para ver cuáles entran, cuáles no llegan y cuáles se salen, tenemos que considerar la raíz de “n” y de “2n”; un poco más complicado que cuando se busca por tentativa la primalidad de un número.

La parte entera de la raíz de 13 es 3, esto quiere decir que si formamos productos con (2,3) todos se quedan en (1,n), son menores (y en este caso particular sólo tenemos tres productos de dos números, que dan 4,6 ó 9, que ya se ve que no pasan de 13).

Pero vemos que en este caso 3*4=12 tampoco entra; luego no basta con la raíz, también hay que probar a ver desde cuál entran.

Seguidamente vemos que la raíz de 26 (siempre haciendo referencia a la parte entera) es 5. Por tanto, salvo 5 cuadrado, todos los productos que podemos formar con éstos (5,6,7,8,9,10,12) no los consideramos porque son mayores que 2*n=26. Con esto nos quitamos unas cuantas combinaciones de encima.

Entonces hay que mirar estos (5,6,7,8,9,10,12) con (2,3,4).

Vemos que sirve 4*4.

El 5 sirve con el 3 y el 4, son dos productos que hacen ya 4 productos váildos (con el 5*5 y el 4*4 que teníamos).

El 6 sirve con el 3,4, hacen dos más y van 6.

El 7 sirve con el 2 y el 3, hacen dos más y van 8.

El 8 sirve con el 2 y el 3, otros dos que hacen 10

El 9 sólo vale con el 2, una más, hacen 9

El 10 también sólo con el dos, hacen 10

Lo mismo para el 11, hacen 11

Lo mismo para el 12, hacen 12.

Y ya hemos terminado.

12 es la cantidad de números que hay en el intervalo (13,26); lo calculas así, 26-13-1; o los cuentas directamente.

Ahí tienes todos los compuestos de (n,2n) tomando el producto de sólo dos números de (1,n); hay productos repetidos, si no, no cabrían los primos (al cantidad de primos es la cantidad de repeticiones, como también te dije al explicarte cómo contaba los primos con el método de inclusión-exclusión; el auténtico método feriva, que es muy pesado y largo :D).

Pero la cuestión es que no falta ningún compuesto, lo de contar los primos es aparte.

Y cómo se colocan estos compuestos en el intervalo (n,2n); pues, evidentemente, de izquierda a derecha empezando por los productos más pequeños; donde quede hueco, ahí están los primos (“donde estén los buitres ahí estará el cuerpo”, que decía una frase bíblica).

Y ésta es la distribución de los primos tal cual; tú puedes usar nombres como los PIG, artificios; o números complejos o extensiones de series, como Reiamann... pero ¿qué es la distribución de los primos? Esto, y no hay más, lo otro (lo tuyo o cualquier otra cosa) no puede ser más que esto mismo con distintos vestidos; porque los primos tienen un secreto que viene a ser como el de la Esfinge del cuento de Wilde; distinta es la cuestión el tiempo que lleven los cálculos y las ambiciones que tengamos.

Mira, hablando de esto, el otro día me preguntas sobre calcular el resto de un Mersenne; pues fíjate: le doy esta cuenta al Python, usando base 2, la más pequeña, \( 2^{2^{500}-1}+1
  \) (da igual que no sea primo) y me da error de memoria; sin intentar hallar ningún resto, sin ser primo... sólo intentado sumar 1 al número. Esto te demuestra que el “misterio” no está en sí en los primos, está en que hay cálculos que a los que no llegan las máquinas, aunque sea una suma.

Saludos.

16 Agosto, 2019, 10:35 am
Respuesta #57

Víctor Luis

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Buenas Feriva ...

°) Lo último que escribí, no se publicó, por una mala señal del Internet que se dió en ese momento y pues que le vamos a hacer ... Y es que me sorprendió tú razonamiento demostrativo, que me dije ... ¿Cómo no se me ocurrió llegar a eso que lo veo simple e irrefutable? ... Ahí está el detalle, me considero insuficiente en hacer una demostración matemática desde el Enfoque Natural, pero como te dije, en eso que denomino Conjunto_V con 8 Grupos PG (5,7,11,13,17,19,23,25) en solo 4 de estos, se dan los Divisores (P,Q) de los Mersenne Compuestos,... Estructuralmente se identifican éstos 4 Grupos PG y no se si casualmente, se identifican por los dígitos finales de 'nbc' que son el cuadrado de 'nb' y de los múltiplos de estos 'nbc' ... Observación que la pueden determinar desde su criterio natural.

°) Una cosa que dijiste, es que nuestro Python no llega a operar: 
      2^(2^(500)-1) ...

   Fíjate que:  2^(500)-1  es un natural de aproximadamente unos  173 cifras, exponente de una potencia en base 2 que es grandísima ... Mira que el:  Mp[51]= 2^(82589933)-1  natural de más de 28 millones de cifras, cuyo exponente es de apenas 8 cifras ... No crees que es mucho trabajito para nuestro Python ?


SIGUIENDO los PASOS de MARÍN MERSENNE.

•) Se nos ocurre analizar las potencias en base 2 con exponentes: (a) y (b) Siendo 'a' naturales PARES y 'b' naturales IMPARES, conformando naturales con:  (+1) y (-1) para cada exponente, encontrando que:  2^(a)-1  y  2^(b)+1  "siempre" serán naturales compuestos múltiplos de (3)

•) Ahora con:  2^(a)+1 se dan naturales impares pertenecientes al Grupo PIG(5) recordando que los exponentes 'a' son naturales pares, resultando que el 50% serán compuestos múltiplos de (5)

•) Nos queda:  2^(b)-1  naturales impares que pertenecen al Grupo PIG(7) mismos que ninguno será múltiplo de (3) ni de (5) sucediendo que al considerar exponentes primos, se conforman naturales Primos, al menos esto se observa en los primeros 4 primeros conformados, secuencialmente dados, algo difícil de ignorar,...  lo que dió lugar a los 'Mn' Números de Mersenne.

•) ¿Por qué sería el considerar exponentes primos?  ... Simple, exponente b(9) de la forma:  2^(b)-1 tenemos que:  m=2^(9)-1=(511) el exponente b(9) es divisible entre (3) de donde tenemos: P=2^(3)-1=7 divisor específico del compuesto (511) y así sucede con todos los exponentes compuestos ... De ahí que empíricamente consideraremos exponentes primos ... Razonamiento que supongo siguió M. Mersenne.


Saludos Cordiales .......

16 Agosto, 2019, 12:13 pm
Respuesta #58

feriva

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Buenos días, Víctor Luis.

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Una cosa que dijiste, es que nuestro Python no llega a operar: 2^(2^(500)-1) ...

Fíjate que: 2^(500)-1 es un natural de aproximadamente unos 173 cifras, exponente de una potencia en base 2 que es grandísima ... Mira que el: Mp[51]= 2^(82589933)-1 natural de más de 28 millones de cifras, cuyo exponente es de apenas 8 cifras ... No crees que es mucho trabajito para nuestro Python ?


Sí, es una barbaridad. La verdad es que, para ser sincero, no tengo ni idea de cómo han podido encontrar que esos números son primos. Sé que los del GIMPs usan los ordenadores de miles de particulares que se descargan un programa libre, a los cuales prometen un premio si su ordenador encuentra un primo de no sé cuántas cifras (una cantidad brutal). Aun así, esos números son tan grandes que no sé cómo pueden, ni tardando tantos años como tardan en encontrarlos, que son muchos bastantes años, no los encuentran así como así.

En cuanto a que la potencia sea un primo si es primo, se demuestra usando el binomio de Newton; también se demuestra que cuando la base no es 2, nunca es primo, es decir, una cosa así \( a^{n}-1
  \) con \( a\neq2
  \) nunca es primo; cosa que, por cierto, yo observé hace un tiempo (creo que en mi hilo de las “memorias sobre Goldbach”, no sé ahora seguro) y fue Sqrmatrix quién demostró que sí, que eso pasaba; después también dio una demostración más sencilla Luis.

Lo primero que se observa para ver eso que dices (lo de que la potencia es un primo) es que, si suponemos que es compuesta la potencia (supongamos “n=ab” con dos números distintos de 1, y así ya es un compuesto) se da la igualdad siguiente:

\( 2^{ab}-1={\color{blue}(2^{a}-1)}\cdot{\color{magenta}\left(1+2^{a}+2^{2a}+...+2^{ab-a)}\right)}
  \)

Se llega a esta igualdad, ya te digo, a través del binomio, pero tampoco te hace falta analizar cómo se llega; multiplicando por la distributiva puedes ver que la igualdad es cierta:

al multiplicar, primeramente, \( 2^{a}
  \) por el paréntesis grande, tenemos

\( 2^{a}+2^{a+a}+2^{2a+a}...+2^{ab-a+a}
  \); o sea: \( 2^{a}+2^{2a}+2^{3a}...+2^{ab}
  \)

y al multiplicar por -1, sumamos a eso esto

\( -1-2^{a}-2^{2a}-2^{3a}...
  \)

con lo que se cancelan positivos con negativos; menos el “-1” del principio, que no tiene compañero positivo; y el \( 2^{ab}
  \) del final, que no tiene compañero negativo.

Por tanto, ya está demostrado que si la potencia es compuesta, al darse siempre esa igualdad en general, tendremos que el número de esa forma es compuesto, pues es producto de los factores “azul” y “magenta”, que ambos son distintos de 1

\( {\color{blue}(2^{a}-1)}\cdot{\color{magenta}\left(1+2^{a}+2^{2a}+...+2^{ab-a)}\right)}
  \) es lo mismo, como queda demostrado, que \( 2^{ab}-1
  \).

Y a partir de ahí, ya, pues la potencia tiene que ser un primo.

...

En cuanto a lo de las terminaciones de los números se saben algunas cosas curiosas, como la de los números cíclicos, relacionados con los primos; mira este vídeo

https://www.youtube.com/watch?v=QuxhYXVCz5w

Saludos.

24 Agosto, 2019, 12:04 pm
Respuesta #59

Víctor Luis

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1° Hay Naturales Compuestos que con base diferente a 2, pasan por primos ... La PEN tiene una colección de menos de diez de estos compuestos, a los que denomine como: (SRV) Seudoprimos Realmente Válidos, mismos que superan a los de Carmichael, ... en cantidad y especificidad.

°) Te Agradezco el enlace del vídeo; ... Pero, ahí tratan de: "Números Cíclicos" ... qué no se refieren a la "Estructura Cíclica" que hago referencia. En el Conjunto_V en sólo los Grupos PG(7,13,17,23) encontraremos a los Divisores de los 'Mn' Mersenne Compuestos, ... Y es que el criterio de "períodos" desde el Enfoque Natural, no se aproximan en nada, a la Estructura Cíclica de los 'nb' .

   Lo novedoso que se expone sobre el Teorema de Midy, no es tal, ... Solo compara con la PEM que es determinista, una sola operacionalizacion para una sola evaluación, de cumplimiento único y específico cuando se trata de un 'Mp' Primo de Mersenne ... Este criterio, supera en mucho a los Períodos y demás, en cuanto a primalidad específica se refiere.


Saludos Cordiales .......