Autor Tema: Criterios matemáticos. Debate. Por Víctor Luis

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03 Julio, 2019, 07:04 am
Respuesta #10

Víctor Luis

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Buenas Feriva, tocayo Luis y Geométricas ....

° Agradezco las observaciones y enseñanzas que me dan, donde El_Manco como siempre, puntual y conciso. Lo que me extraña, sinceramente, es que no me hayan dicho nada sobre la Simplificación del método de Fermat.

   El motivo por el cual, invalido como primo al natural 2, es por carecer de una estructura numérica funcional, como se observa en los primos Impares. No nos permite conocer nada, sobre Primalidad, ni Factorización y ni aplicaciones en criptografía y peor sobre iniciar el camino a la comprensión de la Distribución de los Números Primos.

   Por lo demás, respeto vuestro criterio y lo expreso al decir: "Enfoque Natural" ya que no les he divulgado explícitamente sobre el Enfoque Estructural ... Pero creanme que la (PEM) Primalidad Estructural para Mersenne es un método desarrollado y simplificado de carácter 'Determinista' con menor complejidad que la de Lucas Lehmer y por ende que la mejora que emplea GIMPS.

  °°) UNA CONSULTA: La primalidad de Fermat que opera:  2^(p-1) mod p = 1   nos dice que todos los primos lo cumplen; pero también muchos compuestos, en fin,... Mi consulta es de cuál es más complejo para operar la evaluación del Mp(48) uno de los últimos primos de Mersenne, sí con Fermat o con el de L. Lehmer ?


® MIS RESPUESTAS AL TEST DE FERIVA.

1°) SÍ  ..... 17 no se puede conformar

2°) SI

3°) SI

4°) A esa edad y con lo que sabía NO

5°) SI

6°) SI

7°) A esa edad SI  ... pero ahora NO

8°) Se dió cuenta de que la condición es Falsa

9°) NO

10°) el inciso  b)


CONSIDERACIONES.

•) Cuando dices que:  n=n  o  17=17 como única opción, y en la falla  2=1+1  de niño me hubiera dado cuenta en qué la condición decía "suma" y una suma necesita de por lo menos "dos" sumandos y como está prohibido utilizar el 1, el considerar  2=2 es un "Absurdo" como también que  3=3  ... El criterio condicionante se aplicaría a partir de 4=2+2  ya que '2' es el primer natural mayor a '1'. Pondría a los naturales (2,3) en una tercera cartulina.

•) Feriva ... la Factorización Estructural no es tan compleja, ya que en el compuesto semiprimo 'm' determino el (PFE) Punto de Factorización Estructural y ya con éste, de manera inmediata se determina 'Ks' y con éste ya sabes se determina 'X' con lo cual la Factorización del compuesto es inminente (en varias ocasiones dije esto)

© ) Espero que SqrMatrix y otros de mis amigos, compruebe la simplificación de la Factorización de Fermat y exponga sus criterios cómo observaciones.


Saludos Cordiales ....

03 Julio, 2019, 11:51 am
Respuesta #11

feriva

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Hola, Víctor Luis, buenos días.

Gracias por rellenar el test.

Como nosotros ya discutimos hasta la saciedad, prefiero que contestes a Geómetracat a la pregunta que te hace:

Citar

Si dices que hay que excluir el 2 de los primos, supongo que estás pensando en alguna propiedad por lo menos igual de interesante que la de "generadores multiplicativos" que involucra únicamente a los números primos impares. Si es así, ¿cuál es esta propiedad?


Tu respuesta va a ser que el 2 es el primer natural mayor que 1, pero él pregunta por una propiedad “por lo menos igual de interesante...”

...

En cuanto a la cuestión de la factorización, es que no me fijé que la habías traslado a este hilo, pero ya lo he visto.

Sigo entendiendo lo que ya entendí en su día. Consideras los 4 primeros primos mayores que 3 y sus múltiplos (PIGS) los cuales son de la forma \( 6n\pm1
  \); así, evidentemente, el 2 y el 3 no son de esta forma y además son los dos únicos primos de todos los que existentes que cumplen que su diferencia es 1; porque de los otros hay muchos: gemelos, a distancia de cuatro, sexys, etc. (*y éste es, sintetizado, el argumento que utilizas para considerar más útil el conjunto de los primos sin el 2 y el 3).

Y no hay problema en consdierar ese conjunto; la cuestión es que todos queremos ver las ventajas que tiene esto a la hora de determinar si un número es primo o a la hora de factorizar, por ejemplo.

Sí que hay varias ventajas, algunas son evidentes y muy conocidas. Si un número es mayor que 3 y queremos saber si es primo, obviamente, al ser de esta forma \( 6n\pm1
  \), podemos “saltar” en nuestra búsqueda de divisores prescindiendo de los pares y los múltiplos de tres, con lo que recortaremos tiempo.

Pero esto, como ya hablamos, es muy insuficiente por sí solo. Es más, si en una primera y rápida valoración observamos que ni 5 ni 7, por ejemplo, dividen a un compuesto, podemos saltarnos también los múltiplos de esos primos y de todos los que sepamos (de antemano) que no dividen al compuesto; es decir, no es una cosa demasiado especial, como tampoco es demasiado especial que 2 sea el primero detrás de 1; también 3 es el tercero, 4 es el cuarto, 5 es el quinto...

Antes de entrar en el foro y de conocernos, tú descubriste que los números de dicha forma, al dividirlos entre 12, dejan esos cuatro restos, lo cual usaste para distinguir unas familias y un método para eliminar con ello candidatos no primos. Ya, más adelante, cuando entraste aquí, te dije que te valía dividir entre 6, que así tenías dos restos, 1 y 5 (pudiendo considerar 5 como -1 también, sirve igual para las cosas, 6-1=5) y que era más cómodo y más rápido. Y entonces me dijiste que sí, pero que considerabas unas secuencias SMD, o no sé qué nombre le dabas, que tenían que ser con los cuatro restos, que, si no, no eran iguales.

Todo eso de las secuencias, las tablas que hacías con múltiplos comunes y no comunes y demás, se han diluido en mi memoria, no me acuerdo (y menos se acordarán los demás). Pero hasta donde vimos, se podía “traducir” a aritmética modular corriente; de hecho, creo recordar que Luis creó un hilo llamado “Traduciendo a Víctor Luis”.

En ese tiempo, según acababas de entrar, el galimatías era lógico, porque todavía desconocías lenguaje y asepctos de la aritmética modular y te expresabas como podías, pero ya no es así o lo es mucho menos, por lo que deberías adaptar esas ideas al lenguaje habitual, ya sí puedes hacerlo.

Entre otras muchas cosas, te dijimos que 13 módulo 12 daba lo mismo que resto 1, que lo simplificaras; no quisiste porque estás aferrado a tus orígenes, tus PIGS son intocables :) Igual que desechaste usar módulo 6 en vez de 12 y tantos otros aspectos.

Ya que he entrado en tu “psicología” con el test, sigo un poco en ese sentido:

Quizá no quieres dejar de ser críptico por temor a que detrás de tu idea de primalidad estructural no haya verdaderamente un secreto (es humano, todos tememos a veces cosas de ese estilo; recuerdo ahora un cuento de Óscar Wilde, La esfinge sin secreto). Sin embargo, no debes temer eso, sea cómo sea lo que haces, por los resultados vistos, Luis ha dicho en varias ocasiones que tu trabajo es bueno. Yo no he guerreado demasiado (casi nada) por hallar primos grandes; y lo de la factorización me lo tomo de otra manera, así que no tengo muchos elementos para juzgar. Pero si Luis dice eso, es que es tus resultados son buenos y, con ello, tu trabajo ha de ser bueno, sin duda.

Así que no hay miedo ninguno a que te “dejes ver”; por sencillas o “inventadas” que puedan resultar al final las cosas que usas, si dan buen resultado, nadie lo va a negar; no importa que te bases en que 2+2=4, importa la idea que hay detrás, como te dije en el otro hilo.

Saludos.

04 Julio, 2019, 07:08 am
Respuesta #12

Víctor Luis

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Buenas Feriva y El_Manco ...

°° En verdad Feriva que me conoces, sin aplicar test alguno ( algo que complació responder) ... Sugiero pongamos una pausa al tema del 2, que hay más tela por cortar. En este caso simplificamos el método de Factorización de Fermat en base al Conjunto FV donde en el tiempo de mi ausencia, ha evolucionado este conjunto en otros dos más, los que iré exponiendo en este hilo.

   Entonces, como SqrMatrix me dijo en tú hilo que el método de Fermat no podía simplificarse, le respondo aquí, con los errores que pueda cometer, ... Pero no dijo nada y es que esto es un mínimo de Simplificación, pudiendo hacer otra Simplificación con lo que explicaré en tu hilo.

   ∆ Vuelvo a consultar:  Siendo  m = 2^(17)-1 = 131071 ... Cuál es más complejo ?

   1°)  2^(131070) mod 131071  ..... método de Fermat

   2°)  S(16) mod 131071  ..... método de Lucas Lehmer

••) Feriva, puedes hacer un programa en Python, para cargar primos en cada Grupo PIG. Ahora conformamos Compuestos Semiprimos dados en cada grupo PIG para lo cual los divisores (P,Q) se indican en esta tabla:

   m PIG(5) ..... Divisores:  PIG(5,13)  PIG(7,11)

   m PIG(7) ..... Divisores:  PIG(5,11)  PIG(7,13)

   m PIG(11) ..... Divisores:  PIG(5,7)  PIG(11,13)

   m PIG(13) ..... Divisores:  PIG(5,5)  PIG(7,7)  PIG(11,11)  PIG(13,13)

   •) Ya sabes cómo conformar compuestos semiprimos 'm' dados en cualquier grupo PIG. Como sabes de los divisores, puedes determinar 'Ks' y con este 'X' ... para comprobar si se cumple la tabla con la que se simplifica el método de Fermat, que indique hilo atrás.


Saludos Cordiales .....

04 Julio, 2019, 11:53 am
Respuesta #13

feriva

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Muy buenos días, Víctor Luis.

Antes de empezar, vaya una nota “histórica”:

El conjunto FV es el conjunto de los números de la forma \( (6n\pm1)
  \), al que Víctor Luis bautizó así con las siglas de feriva-Víctor Luis (lo cual produjo cierta indignación en algún usuario que dijo que eso ya estaba inventado).

...

En cuanto a lo que te decía sqrmatrix, piensa que los matemáticos (o los ingenieros informáticos y otros profesionales que usan mucho las matemáticas) hablan en general; que, en general, no se pueda simplficar quiere decir eso, que las simplificaciones que se puedan hacer son particulares según el tipo de semiprimo. Hay semiprimos en los cuales la “x” del (x+y) y (x-y) del método de Fermat no puede ser múltiplo de un cierto número pero en otros sí (al menos en principio).

...

A ver esto, que me vas a hacer trabajar, y ya sabes que soy vago :D

Empiezo por aquí y te digo lo que creo que me quieres decir:

m PIG(5) ..... Divisores: PIG(5,13) PIG(7,11)

Tenemos que “m PIG(5)” es un compuesto del conjunto \( (6n\pm1)
  \) tal que \( m\equiv5(mod12)
  \); es decir, que al dividir por 12 deja resto 5.

Seguidamente entiendo que los “m” de esta clase son múltiplos de alguno o algunos de las parejas de divisores que apuntas, esto es (5,13);(7,11).

Por ejemplo, m=161 (que es de los que deja resto 5 módulo 12) tiene como divisor 7. Y también tiene como divisor 23, que no está entre los divisores, pero se observa que 23 módulo 12 es 11, es decir, que 23 es un “PIG(11)” primo.

Por probar un ejemplo más, tomamos m=185, que es del mismo tipo, y de nuevo tiene uno de esos divisores que asocias, 5, y otro que es 37, el cuál módulo 12 es 1, o sea, equivalente a 13.

Así que, hasta aquí, parece que todo va enfocado sobre el anillo \( Z_12 \), o sea, según los restos que dejan los \( (6n\pm1)
  \) módulo 12.

No he probado con más números, dime tú si es cierto lo que digo para los restantes m PIG.

Como ya supongo, básicamente lo que harás es probar con unos divisores u otros según el resto que dejen los “m”, con lo que te ahorras no poco en comprobaciones.

Aparte, intuyo que tienes más cosas observadas, más descubrimientos, relacionados con el módulo doce y la primalidad; pero no he analizado más.

¿Sabes? Es curioso, este invierno (cuando temía que te hubiera pasado algo malo) me acordé de ti por una cosa. La música temperada (la normal) tiene doce sonidos distintos (dejando aparte que puedan ser más agudos o más graves; esto es como en la aritmética modular, se repiten a distintas alturas, pero son los “mismos”) y estuve tocando la melodía de los primos a ver cómo sonaba; y sonaba misteriosa, como ellos :)

Saludos.

05 Julio, 2019, 08:39 am
Respuesta #14

Víctor Luis

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 •) Es exactamente lo que dije Feriva, ... Lo expusiste claramente para compuestos 'm' PIG(5) cuyos divisores solo pueden ser: entre PIG(5,13) y PIG(7,11)

   [ Como bien dices, en PIG(13)  mod 12 es el resto (1); pero no decimos PIG(1) porque no tenemos un primo 1 y porque entre los PIG(5,7) y PIG(11,13) encontramos y/o generamos a todos los "Primos Gemelos", excluyendo a los naturales (2,3) ]

Veamos tus ejemplos:

a)  m(161) con divisores (7,23) y raíz cuadrada  rz = 12,6
      Con los divisores determinamos:  Ks= 161 - 132 = 29 con el que obtenemos  X=15

   Ahora con Fermat para determinar 'X' iniciamos desde la raíz, es decir que pueden ser:
      X = (13, 14, 15)
   La simplificación de Víctor Luis nos dice que en PIG(5) el valor de 'X' será un natural Impar Múltiplo de 3, siendo el primero X(15) que casualmente es el específico.

 2°)  m(185) con divisores (5,37) y raíz cuadrada  rz=13,6
      Con los divisores determinamos:  Ks= 185 - 144 = 41  y con esto  X=21

   SqrMatrix nos dice referente a Fermat, que debemos iterar de a uno desde la raíz para obtener 'X'
      X = (14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21)

   La simplificación de Víctor Luis nos dice que compuestos semiprimos 'm' PIG(5) tendrán a su 'X' como un natural Impar Múltiplo de 3,... por lo que quedarían:  X = (15, 21) ... Solo dos candidatos potenciales y no 8 como los ópera y evalúa Fermat.

   •) Sí tuviera computador, comprobaría está Simplificación y les pasaría el trabajo a mis Maestros en su Demostración Matemática ... claro está, sí en verdad se cumple.

   Sobre esta Simplificación recuerdo haber hecho en mis apuntes una simplificación más, en base a otra proporción relacionada con 'ks' que lo expondré en el hilo de Feriva.

°°) Sí recuerdo, que alguien dijo en el Foro, el haber patentado un conjunto similar al nuestro ... El "CONJUNTO FV" donde (CV) viene de los coautores: Feriva y Víctor Luis, con Tablas de principios y Proporciones que se relacionan con: primalidad, Factorización, densidad de primos y una vista de la Distribución de Compuestos generales de los Naturales Base del conjunto.

 ∆)) En este tiempo que me perdí ( como ya te dije, mi próxima ausencia podría ser por lo que pensaste ... Amigo Feriva ) desarrollé: el Conjunto_VL y luego el Conjunto_V ... no por gusto y gana de uno, sino por la necesidad del análisis estructural que hacía manualmente, registrando en 5 cuadernos de carpeta, varios cuadernos de 50 hojas y un montón de hojas (Bond y sabana) tamaño oficio, con tablas y operacionalizaciones principales.

   Estos Conjuntos los expondré más adelante, resaltando su importancia desde el 'Enfoque Natural' ... Es por tanto mi Amigo y Maestro Feriva, que sospecho se darán, otros, que registren y/o patenten, una autoría intelectual de no se que conocimiento intelectual.


Saludos Cordiales .....

06 Julio, 2019, 07:29 am
Respuesta #15

Víctor Luis

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EL CONJUNTO FV.

PIG(5) = (5,17,29,41,53,65,77,89,...)
PIG(7) = (7,19,31,43,55,67,79,91,...)
PIG(11)= (11,23,35,47,59,71,83,95,...)
PIG(13)= (13,25,49,61,73,85,97,...)

   (FV) viene de los coautores: Feriva y Víctor Luis

   •) Una característica es que en PIG(7) encontramos a 'todos' los Números de Mersenne, algo que le hubiera agradado saber a Marín Mersenne y al mismísimo Fermat.

   Un otro aporte es que podemos estudiar a los 'Primos Gemelos' pues sabemos el origen de su generación y la constante K(12) para generarlos. Así también que todo compuesto 'm' es producto de dos Divisores:  m = P•Q  los que no deben ser necesariamente primos, alejándose del criterio de que todo compuesto se entiende por la descomposición única en factores primos, algo muy cierto; pero en el Conjunto FV cada "NB" (Natural Base) genera sus múltiplos en base a una secuencia, la que mencionaba Feriva, SMD (Secuencia de Múltiplos Directos) lo de 'Directos' es porque se generan unos tras otros, así como en el Conjunto N los múltiplos de un natural se dan como proporciones del valor del natural. A parte de esto,  nb(5) tiene una constante de generación para generar sus múltiplos en cada Grupo PIG desde su primer múltiplo, dónde nb(17) tendrá la misma distribución de múltiplos en los grupos PIG pudiendo determinar su constante de generación desde la de nb(5) y así con los subsiguientes 'nb' de PIG(5) y también cumpliéndose esto en los otros grupos PIG.

   Un otro aporte del Conjunto FV es lo que denomine como "Primos Relacionados" en lo que a Factorización se refiere, donde todo compuesto 'm' en PIG(5) she divisores (P,Q) pertenecerán a PIG(5,13) o viceversa cómo también a PIG(7,11) o viceversa ... con lo de 'viceversa' quiero decir que el divisor 'P' no siempre será PIG(5) sino también PIG(13) Lo que se aplica a la otra relación dada, algo que muchos dirán es trivial, y no es así, porque si 'P' es PIG(7) el divisor 'Q' sólo podrá darse en PIG(11) y asi tenemos estás relaciones específicas, siendo de cada uno el explotar esto.

   ... Una simplificación del Conjunto FV es el Conjunto VL, que expondré a continuación ...


Saludos Cordiales .....

09 Julio, 2019, 10:09 am
Respuesta #16

Víctor Luis

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EL CONJUNTO_VL.

   °)  Simplificar el Conjunto_FV no fue un proceso racional en sí; ya que se dió por "Empirismo Matemático"; al recordar lo que mi maestro 'El_Manco' me dijo discutir, sobre lo que es 'logico' frase que utilizaba a menudo y en este periodo de mi ausentismo, ... Comprendí la gran diferencia de lo 'logico' respecto a lo 'racional' ... algo que Feriva ya me dijo, ... comprender a los lógicos que son la gran mayoría, desde unos pocos que son los racionales.  ...  Este criterio me ha ayudado tanto, que diferenció a los (lógicos) de los (racionales) ... quizá por mi estado o por lo que en verdad debería ser.


PIG(5) = (5,11,17,23,29,35,41,47,53,...)

PIG(7) = (7,13,19,25,31,37,43,49,55,61...)

   La Constante de generación es K(6), dándose dos Grupos PIG:   PIG(5)  y  PIG(7)

  ••)  Nos será racional el refutar que si k(6) es proporcional a la(12) del Conjunto_FV, obtendremos los mismos resultados,  lo que fue contradictorio, demostrando que una constante no define el producto final de la estructuración de un Conjunto.

1°) Un Grupo PIG determina y/o explica la primalidad y el estado de Compuesto de los naturales base del grupo PIG.

   •) Veamos, en PIG(7) encontramos a Todos los Números de Mersenne, como también a los cuadrados perfectos de 'nb' del Conjunto_VL. Además de los RSA que se dan en PIG(7)

  °°) Podrá parecer insignificante; pero resulta que el intrincado desarrollo sucesional de las secuencias, nos llevan a  contemplar la magnificencia de un excelente desarrollo.

Saludos Cordiales ...

11 Julio, 2019, 09:06 am
Respuesta #17

Víctor Luis

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   Haremos una diferencia cambiando lo de Grupo por 'PG' siendo estos:

Grupo PG(5) = (5,11,17,23,29,35,41,47,53,59,65,71,77,83,89,95,101,...)

Grupo PG(7) = (7,13,19,25,31,37,43,49,55,61,67,73,79,85,91,97,103,...)

LO NUEVO ,.,............,

•) Como ya dijimos, en PG(7) encontramos a todos los 'Mn' números de Mersenne, a los compuestos RSA y a todos los cuadrados perfectos.

•) La Tabla de Primos Relacionados del Conjunto FV se simplifica en dos principios:

     1° Principio:  Todo 'nb' compuesto de PG(5) sus divisores (P,Q) que lo conforman pertenecen a diferentes Grupos PG.

         Ej  nb=35 (5•7)  P(5) está en PG(5) y Q(7) está en PG(7)

     2° Principio:  Todo 'nb' compuesto de PG(7) sus divisores (P,Q) que lo conforman pertenecen a un mismo Grupo PG.

        Ej  nb=55  (5•11)  P(5) y Q(11) están en PG(5)
             nb=91  (7•13)  P(7) y Q(13) están en PG(7)

•) Como tenemos dos Grupos PG, en cada uno, cada 'nb' genera sus múltiplos con la constante:  "Km"= (nb•6)
    Veamos un ejemplo:  en PG(7)  para P(11) con km=66 su primer múltiplo es (121) ósea su cuadrado perfecto, operando (11•11) y desde éste, sumando (+66) generamos los múltiplos que tiene P(11) en PG(7) como ser m=187 (11•17)

   Pero, notarán que en Grupo PG(7) tenemos al compuesto  m=55  que si bien éste es divisible entre (11) sus divisores son:  P(5) y Q(11)  ... Más estamos tratando compuestos múltiplos de P(11) donde m(55) su divisor 'P' es (5) no (11) ... Esta observación no es trivial, ya que en FACTORIZACIÓN sabemos que:

   *  P  <  Q
   *  P  <  √m  <  Q  .....  √m es la raíz cuadrada del compuesto que es límite entre ambos divisores
      con m=55   √55= 7,41  imposible que pueda darse un P(11) al tener que ser menor que la raíz cuadrada

•••) De acuerdo a esto, en la Escuela, dónde se enseña las Tablas de Multiplicar, se debería especificar que se refiere a proporciones múltiples, siendo el criterio diferente en cuanto a Factorización se trate, donde la tabla del (5) considerando P(5) sus múltiplos se conforman a partir de Q(6) ... esto según el Enfoque Natural ... Qué dices Feriva?


Saludos Cordiales ....

   

11 Julio, 2019, 03:30 pm
Respuesta #18

feriva

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•••) De acuerdo a esto, en la Escuela, dónde se enseña las Tablas de Multiplicar, se debería especificar que se refiere a proporciones múltiples, siendo el criterio diferente en cuanto a Factorización se trate, donde la tabla del (5) considerando P(5) sus múltiplos se conforman a partir de Q(6) ... esto según el Enfoque Natural ... Qué dices Feriva?


Saludos Cordiales ....


Pues digo que me hago cierto lío con tanto PIG-POG.

Pero, en cualquier caso, en la escuela, los niños que estudian las tablas están todavía muy lejos de factorizar semiprimos.. Aprenden una idea sencilla, multiplicar es sumar un mismo número varias veces, y ya está. Esas sumas se aprenden (alguna sólo, y sumando hasta diez veces) de memoria, pero no dejan de ser sumas de un mismo número. Y después vienen otras cosas. El concepto de sumar un mismo número varias veces es algo muy básico que todo el mundo debe saber; y que, de hecho, sin ensañarse, muchos niños deducirán ellos solos de lo puro natural que es.

Un cordial saludo.

13 Julio, 2019, 09:44 am
Respuesta #19

Víctor Luis

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 ... No nos detendremos en debatir sobre las tablas, que desde la Factorización considero se debería enseñar un poco más.

°°) CONTINUEMOS ... Recapitulemos un poco ... solo un poco ... El Conjunto VL se compone de dos sucesiones que denomino como Grupos PG [ PG(5) , PG(7) ] generando términos con la constante K(6).  Las iniciales 'PG' (Primo Generador) son para diferenciar de los Grupos PIG del Conjunto FV.

   •)  Dejemos de considerar trivial a este conjunto, preguntándonos: como para qué me sirve el 2° Principio? Que me dice que todo compuesto en el Grupo PG(7) tendrá sus divisores (P,Q) dados y/o pertenecientes en un mismo Grupo PG. En PG(7) sabemos estarán: el universo de números de Mersenne, los compuestos RSA y los cuadrados perfectos de todos los 'nb' del Conjunto VL.

   Veamos el ejemplo o dato dado por El_Manco en el que no todos los 'Mn' compuestos son compuestos semiprimos.

   mn= 2^(29)-1 = 536870911  pertenece a PG(7) cuyos divisores son:

      P(233) ... PG(5)
      Q(2304167) ... PG(5)

   Como vemos se cumple el 2° principio, donde ambos divisores pertenecen al mismo Grupo PG

   Pero El_Manco nos dice que 'Q' es compuesto donde para comprobarlo, aparte de determinar su primalidad, podríamos Factorizarlo, considerando a 'Q' como un compuesto 'm' ... veamos:

   m = 2304164 ... pertenece a PG(5) con raíz cuadrada:   rz= 1517,9

   Ahora bien, estructuralmente 'm' tiene:  cet(29)  su ciclo estructural e inicial, con el que podemos estimar y llegar a uno de sus divisores, desde (30) con la constante (+29) siendo estos:

      (30,59,88,117,146,175,204,233,262,291,320,349,...)

   Observemos que se dan muchos candidatos 'Pares' los que no dividen a ningún Impar y además se dan Impares múltiplos de (3) que tampoco llegarán a ser divisores específicos de algún 'nb' = 'm' quedando:

      (59,175,233,349,...)   perteneciendo éstos a:

     Grupo PG (5) ... (59,233,...)   diferencia (+174)
     Grupo PG (7) ... (175,349,...)   diferencia (+174)

   •)  Ahora busquemos el divisor específico 'P' con la constante que hemos obtenido en:

      Grupo PG(5) = (59,233,407,581,755,929,1103,...)
      Grupo PG(7) = (175,349,523,697,871,1045,1219,...)

   Encontramos el divisor específico  P(1103) en PG(5) realizando, contadas evaluaciones, solo (10) de los aproximados (138) naturales base dados desde la raíz. El otro divisor es  Q(2089) en PG(7)  con lo que se cumple el 1° principio que indica que todo compuesto dado en Grupo PG(5) sus divisores pertenecerán a diferentes Grupos PG.

  ••)  OTRO MODO DE FACTORIZACIÓN... es Estructuralmente, veamos:

      m= 2304167   con raíz cuadrada  rz= 1517,9

   Fermat nos dice que 'X' se dará a partir de la raíz cuadrada y con las disculpas, SqrMatrix nos dice que "sí y siempre sí" deberemos iterar desde  X(1518) con  (+1)  operando y evaluando con cada 'X' iterado.

   ∆) Nosotros ya sabemos de las proporciones:  'Ks' y 'Kf' donde determinando 'Kf' obtenemos 'Ks' y con éste determinamos el 'X' específico, quedando factorizado el compuesto. Determinamos que 'm' tiene cet(29) con lo que operamos y buscamos el 'X'_Inicial

     X(1518) ... Ks(3035) ... Kf(2301132) mod cet =  rt(11)  .......... no es divisible

   Y así llegamos a que:

     X(1538) ... Ks(3075) ... Kf(2301092) mod cet =  rt(0)  ........ es divisible  Ok!!!


   Nuestra búsqueda terminó, al encontrar el Inicial:  X(1538) desde el que generaremos con (+29) evaluando con el criterio de Fermat:

     X(1538) .... Y(247,5)
     X(1567) ....  Y(389,001)
     X(1596) ....  Y(493)  ... es raíz entera  ... Ok!!!

   Con 'X' e 'Y' determinados, conformamos los divisores:

      P = (1596 - 493) = (1103)
      Q = (1596 + 493) = (2089)

 °°° Observa SqrMatrix que SÍ podemos simplificar a Fermat, desde el Enfoque Estructural ...


Saludos Cordiales ....