Autor Tema: Criterios matemáticos. Debate. Por Víctor Luis

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30 Junio, 2019, 11:46 am
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Víctor Luis

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Buenas a todos ....

   Agradecido por considerarme como "Empírico Matemático" abro este hilo, para exponer y debatir criterios Matemáticos no solo míos, sino los que involucran a principios y definiciones estamentadas como algo que estimo es imposible de cambiar y peor el rectificar como el desestimar, por no decir eliminar.

   Podré estar equivocado en algunos puntos, mismos que reconoceré, rectificaré y aclararé en su momento; pero para no entrar en amplios debates, sugiero viajemos en el tiempo hacia atrás, momentos cuando se tomaban y validaban las "definiciones" sobre las que se basan sus criterios. ... Acaso no podemos considerar que quizás ellos pudieron equivocarse, no en todo, pero una escasísima fracción es suficiente, ya que de las primeras definiciones surgen las demás y de esas las siguientes y subsiguientes.

TEMAS:

°  El Conjunto de Primos
°  El Conjunto CV .. su importancia y evolución
°  La definición de Primo por el TFA
°  ... Otros temas más por mi parte y las que ustedes planteen


Saludos Cordiales ....

30 Junio, 2019, 12:29 pm
Respuesta #1

Víctor Luis

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Buenos días ...

   N {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...}

   N es el Conjunto de Números Naturales, el cual comprendo como una sucesión ascendente dada con la constante K(1) que sumamos a un término para obtener el siguiente.

   Ahora, en la literatura se considera el Conjunto de Primos:

      P  {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,...}

   Se valida como conjunto porque sus elementos tienen algo en común, que es su estado de primalidad, donde al resto de los naturales se los consideran Compuestos  agrupados en un otro conjunto.

   Resulta que no podemos generar directamente y secuencialmente los primos en darse; es decir que desconocemos y no comprendemos la Distribución de los Números Primos.

∆ La observación que hago es que no deben considerarse en las demostraciones al Conjunto de Primos como tal, al desconocer la razón y/o origen de su primalidad ... que no se entiende por solo Divisibilidad o qué más pueden decir sobre PRIMALIDAD ?

   Se involucra a Euclides en la demostración de la infinitud de los números primos ... donde qué pasa si se excluiría al natural (2) como primo ? Se tendría una demostración pero  con algunas modificaciones ... En cuanto afectaría esto a las conjeturas e hipótesis matemáticos ?

Saludos Cordiales ....

30 Junio, 2019, 06:57 pm
Respuesta #2

feriva

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Buenos días ...

   N {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...}

   N es el Conjunto de Números Naturales, el cual comprendo como una sucesión ascendente dada con la constante K(1) que sumamos a un término para obtener el siguiente.

   Ahora, en la literatura se considera el Conjunto de Primos:

      P  {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,...}

   Se valida como conjunto porque sus elementos tienen algo en común, que es su estado de primalidad, donde al resto de los naturales se los consideran Compuestos  agrupados en un otro conjunto.

   Resulta que no podemos generar directamente y secuencialmente los primos en darse; es decir que desconocemos y no comprendemos la Distribución de los Números Primos.

∆ La observación que hago es que no deben considerarse en las demostraciones al Conjunto de Primos como tal, al desconocer la razón y/o origen de su primalidad ... que no se entiende por solo Divisibilidad o qué más pueden decir sobre PRIMALIDAD ?

   Se involucra a Euclides en la demostración de la infinitud de los números primos ... donde qué pasa si se excluiría al natural (2) como primo ? Se tendría una demostración pero  con algunas modificaciones ... En cuanto afectaría esto a las conjeturas e hipótesis matemáticos ?

Saludos Cordiales ....


Hola, Víctor Luis.

Pues sin el dos la demostración clásica no se podría hacer, no se podría dar por segura; te pongo un ejemplo:

Supongamos que sólo existieran primos hasta el 7; entonces vamos a ver qué pasaría lo plantea Euclides

\( (3*5*7)+1=k
  \)

Los primos 3,5 y 7 (cualquiera de ellos) dividen al primer factor del paréntesis, pero no dividen a 1, por lo que “k”, la suma, no puede ser ninguno de esos primos; entonces k tendría que ser múltiplo de otro primo distinto. En eso se apoya Euclides para decir que tiene que haber otro primo más grande que 7 (o el supuesto “último”).

Pero podríamos tener, como es el caso del ejemplo, la suma de dos sumandos impares (105 y 1 en el ejmplo) con lo que la suma bien podría ser un par para el supuesto último primo.

Si fuera así, al ser un par, “k” podría ser una potencia de 2, un \( 2^{n}
  \) (que no se compone de ningún primo distinto de 2) y en ese caso no tendría por qué existir un primo más grande que 7; luego no sería suficiente para asegurar el teorema así como así.

...

Ya por otra parte, en mi opinión surgió antes la idea de compuesto que de primo.

Hablamos de una época muy remota, donde no existían los números como garabatos ni mucho menos la teoría de conjuntos; no existía el concepto de números naturales o no.

Muy probablemente ordenar piedras en fila sería un juego de los niños primitivos. La idea misma no puede ser más primitiva, primero fueron las sumas de unos 1+1+1... (de piedrecitas). Cómo ni se iban a dar cuenta, por muy primitivos que fueran, que así, sumando unos, podían obtener cualquier valor mayor que uno (hablamos de al menos dos sumandos, un número suelto no es una suma; al menos hasta que no se invente el cero, y aun así). En esas ya estaba, aunque no lo supieran, los números naturales.

Pero poner todo “unos” acabaría por aburrir, y pronto jugarían a poner 2+2+2... ó 3+3+3... ó 4+4+4... hacer poner en hilera dos y dos piedras, o dos y dos y dos, o tres y tres... Y en ese momento, si saberlo, definieron los compuestos. La idea de primo es más complicada, requiere algo más elaborado, como es prohibir o restringir las sumas quitando las de 1. Entonces es cuando se ve, que con al menos dos sumandos, no podemos siempre obtener todos los números de esta forma 2+2+2... ó 3+3+3... ó 4+4+4...

Pero por qué habrían de pensar esos niños (o los de ahora cuando juegan a lo mismo) en tal capricho: el 2 se puede poner así 1+1... y el 4 así 1+1+1+1, y el 5 así 1+1+1+1+1... así con todos. No hay ningún número, salvo el 1, que no se pueda representar con una suma de repetidos sumandos; para ellos el único primo sería el uno, si hubieran llegado a pensar en ese tipo de concepto, y no habría más.

Ya te digo, creo que primero tuvo que surgir el concepto de compuesto (aunque no existieran en sí los números ni tantas cosas) el concepto de primo es más elaborado, más artificioso.

Saludos.

01 Julio, 2019, 11:44 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

   Ahora, en la literatura se considera el Conjunto de Primos:

      P  {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,...}

   Se valida como conjunto porque sus elementos tienen algo en común, que es su estado de primalidad, donde al resto de los naturales se los consideran Compuestos  agrupados en un otro conjunto.

Eso es una vaguedad si no defines que entendemos por primalidad.

Un número natural es primo si y sólo si tiene exactamente dos divisores disntintos.

Entonces:

\( P=\{n\in \mathbb{N}|n\textsf{ es primo}\}=\{n\in \mathbb{N}|n\textsf{ tiene exactamente dos divisores disntintos.}\} \)

Citar
   Resulta que no podemos generar directamente y secuencialmente los primos en darse; es decir que desconocemos y no comprendemos la Distribución de los Números Primos.

 Esto es una vaguedad. Se conocen muchas cosas sobre los primos y se desconocen otras muchas.

Citar
∆ La observación que hago es que no deben considerarse en las demostraciones al Conjunto de Primos como tal, al desconocer la razón y/o origen de su primalidad ... que no se entiende por solo Divisibilidad o qué más pueden decir sobre PRIMALIDAD ?

 Lo que has dicho no tiene sentido; el conjunto de primos está perfectamente definido, independientemente de que haya problemas abiertos relacionado con él. Quizá quisieras decir otra cosa.

 Sobre primalidad hay miles de artículos. Así que se pueden decir muchas cosas. De nuevo es muy vago, muy impreciso lo que preguntas.

Citar
   Se involucra a Euclides en la demostración de la infinitud de los números primos ... donde qué pasa si se excluiría al natural (2) como primo ? Se tendría una demostración pero  con algunas modificaciones ...

 
 Si se excluye al 2 como primo, la demostración de Eucides se arregla fácilmente (supongo que la conoces) tomando \( P=2\cdot p_1\cdot p_2\cdots \ldots \cdots p_n+1 \). De hecho si se prueba que hay infinitos primos (contando al dos) al quitar al \( 2 \) sigue habiendo infinitos primos.

Citar
En cuanto afectaría esto a las conjeturas e hipótesis matemáticos ?

 Si te refieres a considerar que el \( 2 \) NO es primo, en nada trascendente. Cualquier resultado válido para cualquier primo, se podría enunciar diciendo que es válido para cualquier primo y para el \( 2 \). Y los resultados sobre primos que excluían al dos, se enunciarían sin necesidad de excluirlo explícitamente.

Saludos.

02 Julio, 2019, 06:02 am
Respuesta #4

Víctor Luis

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Buenas Feriva y El_Manco ...

   Muy buenos puntos, ... Iré al grano, pues en otros momentos tocaremos más puntos sobre el 2.

   Observa Feriva que sin el 2 se asegura la infinitud de los primos:

      (3 •  5. •. 7) + 2  ....... se asegura que se dará un natural 'IMPAR' con probabilidad de ser Primo
"Conjetura de Víctor Luis"

   Ahora, con Euclides:    (2•3•5) + 1   .... = 31  que sí bien es primo, lo que observo es que al sumar (+1) obtenemos un natural Impar y TODOS sabemos que el 2 NO DIVIDE A NINGÚN NATURAL IMPAR o me equivoco?

   ∆ Por ahora ese es el punto, y si es válido, afectaría en algo modificar y/o actualizar el clásico de Euclides?


Saludos Cordiales ....

02 Julio, 2019, 07:21 am
Respuesta #5

Víctor Luis

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Buenas Feriva, El_Manco y SqrMatrix ....

   PRIMER ABORDAJE A LA SIMPLIFICACIÓN DEL MÉTODO DE FACTORIZACIÓN DE FERMAT.

   •) En el hilo de Feriva, les dije que no cuento con mi computador, solo los apuntes en cuadernos hechos en estos casi dos años, donde SqrMatrix me pidió explicara (detalladamente cómo con chuis) la posibilidad de simplificar el método de Fermat y como le dije lo hacemos con el Conjunto FV.

   Le dije que exportara los 'X' de compuestos semiprimos de acuerdo a su Grupo PIG y analizara estos datos, dónde cometí el error de decirle que eran divisibles entre 3, lo que no es; pero disculpen, por ahí IVA la cosa.

   La primera concordancia es que los 'X' se dan:

   PIG(5)  X ..... es Impar Múltiplo de 3

   PIG(7)  X ..... es Par no Múltiplo de 3

   PIG(11)  X ..... es Par Múltiplo de 3

   PIG(13)  X ..... es Impar no Múltiplo de 3

   °)  Les pido (en especial a SqrMatrix) que compruebe este primer dato, para validar como 'constante'  ... Analizar 'Y' no arroja datos significativos.

   Con solo esto no hacemos nada; pero es LA BASE PARA SELECCIONAR "X" donde por ejemplo, sí un compuesto es:

   m(5633) Con Divisores (43,131) el compuesto pertenece a PIG(5)
      Tenemos que:  Raíz es  'rz'= 75,05  y es:  X(87)

   SqrMatrix nos dice que se deben operar y evaluar con:

      X = (76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87)  ... son 12 candidatos naturales para 'X'

   De los cuales, como el compuesto 'm' es PIG(5) tenemos que 'X' será un natural Impar Múltiplo de 3, y que candidatos cumplen con esto?

      X = (78, 81, 84, 87) ...... son 4 candidatos naturales para 'X'  ..... ACASO NO ES UNA SIMPLIFICACIÓN ??

   Claro si no hay fallas en la comprobación que haría SqrMatrix ... Donde yo lo hice en pocos compuestos semiprimos para cada Grupo PIG. El asunto es que en mi ausencia, tuve que desarrollar otros Conjuntos, los que son la evolución del Conjunto FV y en estos, encontramos también la simplificación para el método de Fermat y aún podemos hacer a la simplificación que vimos, con criterios de la Factorización Estructural.

   A pesar de esto, no es suficiente como para factorizar Compuestos alguito grandes, como de más de 30 cifras y/o dígitos en tiempos aceptables de un segundo o menos. Lo relevante es el análisis en comprender el origen de los compuestos semiprimos, encontrando éstos en todos los (Mn) números de Mersenne Compuestos y así también en los famosos RSA . (Cazador que no cumplió con el pedido de Tigre de Bengala)


Saludos Cordiales .....

02 Julio, 2019, 09:07 am
Respuesta #6

feriva

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Buenas Feriva y El_Manco ...

   Muy buenos puntos, ... Iré al grano, pues en otros momentos tocaremos más puntos sobre el 2.

   Observa Feriva que sin el 2 se asegura la infinitud de los primos:

      (3 •  5. •. 7) + 2  ....... se asegura que se dará un natural 'IMPAR' con probabilidad de ser Primo
"Conjetura de Víctor Luis"

   Ahora, con Euclides:    (2•3•5) + 1   .... = 31  que sí bien es primo, lo que observo es que al sumar (+1) obtenemos un natural Impar y TODOS sabemos que el 2 NO DIVIDE A NINGÚN NATURAL IMPAR o me equivoco?

   ∆ Por ahora ese es el punto, y si es válido, afectaría en algo modificar y/o actualizar el clásico de Euclides?


Saludos Cordiales ....

Buenos días, Víctor Luis.

Lo que dice Luis es que si primero consideramos al 2 como primo, se demuestra que hay infinitos; por tanto, si quitamos el 2 hay infinitos menos uno, que sigue habiendo infinito; lo cual no puede ser más cierto y la demostración más simple.

Pero esto no es especial para el 2, es general para cualquier primo, pues quitando cualquier primo \( P_{i}
  \) tendremos que la suma podría ser, en principio y sin más demostración previa, igual a \( P_{i}^{n}
  \), con lo que de primeras podría no ser múltiplo de ningún otro primo y, por tanto, hasta ahí no serían infinitos. Es con la reflexión de Luis con lo que se demuestra; aparte de otras demostraciones que pueda haber.

En cualquier caso, lo que demuestra eso, es que quitar el 2 es una arbitrariedad, un capricho, como quitar el 23 o cualquier otro.

La demostración de Euclides se puede hacer con el factorial en vez del primorial, puesto que en el factorial 1*2*3... están inlcuidos todos los primos y así, al sumar 1, la suma seguirá siendo un coprimo con todos esos primos.

A partir de ahí, podemos quitar un compuesto o todos los que queramos, que la demostración seguirá siendo evidente sin más aderezos, directamente la suma no podrá ser múltiplo de ningún primo del factorial.

Es decir, si quitamos todos los múltiplos de 31 del factorial menos el 31, la suma no puede ser múltiplo de ningún primo hasta el P más grande, por lo que ha de existir otro más grande. Pero si además quitamos el 31 y ya no queda ningún múltiplo de 31 (porque 31*1 es múltiplo, es de la tabla de multiplicar que tú estudiaste y todos, por mucho que luego tú quieras hacer definiciones personales eso es lo que se entiende) entonces la suma podría ser quizá \( 31^{n}
  \) y no asegurar en principio otro primo mayor (sin más deducciones, digo).

Lo mismito, pero exactamente lo mismo pasa con los pares que con los múltiplos de 31 u otro primo, si quitamos todos menos el 2, la deducción es inmediata, la suma tiene que ser múltiplo de un primo mayor que el último del factorial, pero si quitamos todos incluido el 2, entonces puede ser 2 elevado a “n” y la deducción de que hay infinitos ya no es tan inmediata.

Esto se resume en un corto párrafo:

El 2 no divide a ningún impar o "imdos", como cualquier "p" no divide a ningún "impe"; y parafraseando o utilizando una palabra que usó Luis el otro día en una repuesta que te dio, negar esto se antoja perverso; perverso en el sentido de que encierra "maldad" (que no digo que seas malo, ni mucho menos) porque que alguien niegue una evidencia tan grande... en fin, cuesta atribuirlo a un no entendimiento :)

Saludos.

02 Julio, 2019, 10:19 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

   Muy buenos puntos, ... Iré al grano, pues en otros momentos tocaremos más puntos sobre el 2.

   Observa Feriva que sin el 2 se asegura la infinitud de los primos:

      (3 •  5. •. 7) + 2  ....... se asegura que se dará un natural 'IMPAR' con probabilidad de ser Primo
"Conjetura de Víctor Luis"

 Sería una demostración correcta de la infinitud de los primos, idéntica esencialmente a la de Euclides.

 No se que significado exacto dar a "con probabilidad de ser Primo". La demostración de Euclides no dice que ese tipo de productos sea primo, sino que si no hubiese más primos hasta un número finito de ello se obtendría así uno nuevo. Ergo, la suposición de que hay un número finito es falsa.

 Por ejemplo \( 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11+2=1157=13\cdot 89 \) no es primo.

Citar
   Ahora, con Euclides:    (2•3•5) + 1   .... = 31  que sí bien es primo, lo que observo es que al sumar (+1) obtenemos un natural Impar y TODOS sabemos que el 2 NO DIVIDE A NINGÚN NATURAL IMPAR o me equivoco?

 Si, evidentemente NO te equivocas. Obviamente (y por definición de impar) el 2 no divide a un impar. Pero, ¿a dónde quieres llegar a parar con esto?. No le veo mayor trascendencia.

 La variante de la prueba de la infinitud de los primos que propones excluyendo al 2 es esencialmente idéntica a la de Euclides; no le veo especial ventaja ni inconveniente.

Citar
   ∆ Por ahora ese es el punto, y si es válido, afectaría en algo modificar y/o actualizar el clásico de Euclides?

 ¿Si es válido el qué?.

 Y no, nada de lo que dices invita a tener que modificar la demostración de Euclides de la infinitud de los primos. La clásica es correcta y en todo caso puede modificarse trivialmente como se ha visto si tanta ilusión te hace expulsar al dos del mundo de los primos. Pero es algo intrascendente.

Saludos.

02 Julio, 2019, 11:10 am
Respuesta #8

geómetracat

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A mí me gustaría saber por qué quieres quitar el \( 2 \) de los números primos. Quiero decir, la noción de número primo tiene interés precisamente porque son las piezas más pequeñas a partir de las cuales generar multiplicativamente cualquier número entero positivo, por eso se definieron y estudiaron ya desde la antiguedad. Con esa definición en mente está claro que el \( 2 \) debe ser primo.

Si dices que hay que excluir el \( 2 \) de los primos, supongo que estás pensando en alguna propiedad por lo menos igual de interesante que la de "generadores multiplicativos" que involucra únicamente a los números primos impares. Si es así, ¿cuál es esta propiedad?
En cualquier caso, si quieres excluir al \( 2 \) de un teorema, basta con decir "primo impar" o \( p>2 \) en el enunciado, como se hace en multitud de teoremas publicados.

Por otro lado, dices
Resulta que no podemos generar directamente y secuencialmente los primos en darse; es decir que desconocemos y no comprendemos la Distribución de los Números Primos.

La primera parte de la frase yo diría que no es cierta. Es bien fácil escribir un programa que te vaya sacando secuencialmente todos los números primos. Es decir, el conjunto de números primos es un conjunto computable. Hoy en día incluso se dispone de un algoritmo para determinar si un número dado o no es primo en tiempo polinomial. Vamos, que para mí sí que "podemos generar directamente y secuencialmente los primos".

Sobre la segunda parte sí estoy de acuerdo, todavía no se entienden demasiado bien los "patrones" que siguen los primos en los naturales, si bien en los últimos años ha habido avances muy interesantes en esa línea.


La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

02 Julio, 2019, 01:45 pm
Respuesta #9

feriva

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Hola por tercera vez, Víctor Luis (el verano invita a estar en casa y escribir, que fuera hace mucho calor :) ).

Citar

Podré estar equivocado en algunos puntos, mismos que reconoceré, rectificaré y aclararé en su momento; pero para no entrar en amplios debates, sugiero viajemos en el tiempo hacia atrás, momentos cuando se tomaban y validaban las "definiciones" sobre las que se basan sus criterios. ...


Este párrafo me llama la atención especialmente entre todo lo que empiezas diciendo (no olvides que has dicho “podré estar equivocado... reconoceré).

Y luego dices “sugiero viajemos en el tiempo hacia atrás, momentos cuando se tomaban y validaban las "definiciones" sobre las que se basan sus criterios. ...”

Aquí ya te tomé la palabra con el ejemplo ése de las sumas de doses, treses... de los niños primitivos; intenté viajar hacia atrás, aunque no soy tan viejo y no sé seguro si fue así.

Esa manera de explicar los compuestos, y después los primos, con sumas, te la expuse hace y a muchos y recuerdo que te gustó.

Pero hay que pensar que una definición debe ser lo más corta posible (por practicidad) y la que utiliza el concepto de divisibilidad es sin duda la más corta “es primo sólo si es divisible por 1 o por sí mismo”.

Y todo el mundo, con la condición previa de que sepa lo que es dividir, la entenderá; pero eso no implica que sea necesario saber lo que es la división ni la multiplicación para poder entender qué es un primo; en general, en este y otros temas parecidos, sacar esa conclusión sería un error en el uso de la lógica. Se puede entender lo que es un primo y no entender la definición habitual; simplemente por eso, por desconocer el concepto matemático de división.

...

Se me ocurre hacerte un test (tarea :) ). Te pido que contestes con sinceridad a estas preguntas; bastará con un sí o un no:

1ª ¿Hubo un tiempo, con 5, 6 ó 7 años, no sé, en el que todavía no sabías multiplicar ni dividir, sólo sumar y restar?

Si la respuesta es afirmativa, imagina esta situación que describo y después responde a las preguntas:

Regresa a esa época en la que no conocías los conceptos de multiplicación ni división pero sí el de suma. Supón que estás en clase con tu profesor, y con otros alumnos, y os pone este ejercicio:

“Niños, aquí tenéis estos números 15,16,17. Vamos a hacer un juego con ellos. Se trata de que busquéis una suma que dé 15, otra que dé 16 y otra que dé 17. Pero antes hay unas reglas, no vale sumar números distintos, tienen que ser sumas de números iguales, como 5+5+5... o con cualquier otro número; ahora bien, cualquiera menos el 1, el 1 está prohibido usarlo. Y, como consejo, os digo que seáis ordenados y atentos, no como feriva, que está dstraído mirando al techo como siempre, pensando en las batuecas. Empezad a probar sumas por el más pequeño, luego por el siguiente... así probaréis todas las posibilidades sin dejaros ninguna”

2ª ¿Crees que a esa edad, la que fuera antes de aprender a multiplicar y dividir, hubieras sido capaz de comprender el enunciado, lo que pide el profesor? (hay niños más espabilados que otros, depende de cómo tú recuerdes que eras).

En caso de ser afirmativa la respuesta, contesta estas otras preguntas:

El ejercicio termina, los alumnos que no se han equivocado en nada han comprobado que 15 lo han podido obtener sumando treses o cincos, también han visto que 16 lo han podido obtener sumando doses, cuatros u ochos... pero con 17 sólo han podido hacer esto 17=17. Han probado todos los menores y han visto que las sumas no daban y que, ya, tomando 18 no se podía seguir por ser mayor. Otros niños, como feriva, se han equivocado y han puesto 8+8=17.

3ª ¿Crees que hubieras estado entre los alumnos que no se hubieran equivocado en las cuentas?

4ª Si fuera así, ¿hubieras concluido lo que dice el profesor?

Suponiendo que las respuestas son “sí”, a partir de ahí imagina que el profesor os dice que hay muchos números con los que ocurre lo mismo que lo que pasa con el 15 y el 16; y otros muchos números a los que les pasa como al 17, que con ellos sólo se puede poner esto n=n (dadas esas reglas).

Una vez explicada tal cosa, el profesor os pide que hagáis experimentos en casa para ver que eso es verdad y que, como tarea, a un tipo de números, entre los que hayáis encontrado, los apuntéis en un papel de color blanco y a los del otro tipo en una cartulina de color distinto. Por la tarea bien hecha se dará dos puntos a cada alumnos; si hay algún error, ninguno.

5ª ¿Hubieras apuntado el 2 en la misma cartulina que el 17?

6ª ¿Crees que estarías entre los alumnos que hubieran obtenido dos puntos?

7ª ¿Crees que, entre los compañeros tuyos que han hecho bien las cuentas y no se han dejado nada, alguno podría haber apuntado el 2 y el 17 en cartulinas distintas? En otras palabras, ¿crees que están bien definidos los números que deben ir en una cartulina y los que deben ir en otra?

8ª Si hubiera sido así, ¿qué crees que le podría haber inducido a un alumno a equivocarse pese a haber hecho bien las cuentas, quizá que se podría haber olvidado de que está prohibido usar el 1 y haber puesto, por ejemplo, 2=1+1?

9º Por ende, si hubiera sido así, ¿podría haber sido porque fuera un niño rebelde o conflictivo que se niega a aceptar las reglas del juego?

10 ª Cuáles de estas “definiciones” de genio te gusta más:

a) Un genio es el que rompe las reglas y crea otras distintas.

b) Un genio es el que aprende las reglas que existen y, a partir de lo aprendido, inventa otras y descubre cosas nuevas.

...

Recuerda: estos niños no saben lo que es “divisibilidad”, no saben dividir y ni siquiera multiplicar, no se les ha hablado jamás de ello. Esos niños existen; de hecho, ellos fuimos también todos nosotros. Pero, muchos de ellos, los que hacen bien las cuentas y no rompen las reglas, aun sin saber qué es divisibilidad llegan a ver perfectamente qué son los primos; o llegan a saber lo que es la primalidad, si quieres decirlo así. Naturalmente, eso no les da poder para factorizar números grandes ni nada así; pero, esto, del mismo modo que saben lo que es volar (viendo un pájaro o un avión) sin que puedan volar ellos.

Saludos.