Autor Tema: Módulo de amalgama

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02 Febrero, 2020, 04:34 pm
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feriva

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Introducción en spoiler

Spoiler

Esto no es necesario leerlo, pero quiero contar cuál ha sido la motivación porque psicológicamente me parece algo curioso.

Como veo bastantes vídeos de música, Youtube me hace recomendaciones, y el caso es que ayer acabé viendo varias cosas sobre palos flamencos (es decir, sobre los distintos ritmos y formas de esta música). Nunca he sido aficionado al flamenco, pero me fijé especialmente en uno en el que se explicaba cómo dar palmas para acompañar las bulerías.

De forma estándar (por lo que vi también en otras páginas sobre esto) este palo se escribe en compás de 12/8 ó 6/8 (el 8 quiere decir “corchea”, es lo que dura cada una de las 6 ó 12 partes, no es una fracción al uso matemático). Por lo visto, se suele enseñar contando diez tiempos separados así
1,2,3;  4,5,6;  7,8,9,10
pero ésta no es la métrica real, sino que se ajusta por las sílabas de las palabras que se usan y el toniquete que se les da (y además es ciertamente subjetivo) dando lugar a que mucha gente, en la práctica, no sepa aplicar la teoría de forma efectiva y pierda el ritmo (por lo que también oí),

Se escribe en 12/8 ó a veces en 6/8, decía, que son compases de subdivisión ternaria (con tres golpes de esta manera: fuerte, débil, débil) sin embargo, en el vídeo al que me refería (muy bien explicado de forma práctica por un guitarrista profesional) me di cuenta de que en realidad no se entendía así, sino que era como un 6/8 interpretado con subdivisión binaria, 1,2; 1,2; 1,2 (fuerte, débil; fuerte, débil; fuerte, débil-silencio) donde el último “2” es un silencio en las palmas que el palmero ejecuta con el pie.

La cuestión es tan sencilla como decir que podemos sumar 6 así 3+3 ó así 2+2+2, entendiendo la suma módulo 2 o módulo 3; donde, en música, los “restos” que siguen al “cero” se interpretan débiles; y el cero es la única parte (o fracción de parte según los casos) fuerte. Pero nadie, en música clásica o música corriente, digamos, interpreta un 6/8 como seis corcheas entendidas así, 2+2+2, sino que se entienden como si fueran dos tresillos de corcheas en un 2/4, así 3+3 (de hecho, ya al escribir, habitualmente, las plicas se unen con los corchetes de 3 en 3, no de 2 en 2). Los compases compuestos (que son los de 6, 9 ó 12 partes)  son siempre de subdivisión ternaria por definición. Digo “por definición” porque es así, no por contagio matemático, ya que, para los de 9 no queda más remedio, pero para los otros hay dos opciones y sólo se maneja una; por definición.

Lo que sí existe en la escritura musical corriente son los llamados compases de amalgama. Esto consiste en hacer, por ejemplo, un compás de dos partes, después uno de tres, y así sucesivamente alterándolos; y lo mismo con otro tipo de compases combinados, no sólo con éstos en particular. De este modo es como se conseguiría escribir correctamente ese ritmo de las bulerías sin alterar la definición que menciono.

(Yo lo escribiría como un 4/4 seguido de un 2/4 a tenor de cómo lo oigo; y poniendo un aire ligero, porque las bulerías son movidas, no lentas. Sumando las partes, se podría escribir entonces así 6/4 (seis negras, 4 quiere decir “negra”) par indicar la amalgama, similarmente a cómo se hace con el del zorcico y otros compases de este estilo,  pero quizá habría que especificar cómo se marcan esas subdivisiones y sería preferible hacerlo con dos fracciones una detrás de otra; porque “6” nos dice “compás compuesto” y entonces se entiende ternario por definición. Sólo son compases simples los que tienen en el “numerador” un 2 ó un 3 ó un 4 (se considera así, aunque el 4 no sea primo).

Bueno, y a lo que voy. Entonces, recordé que, hace dos días o así, tres a lo más, observé una ley matemática que proyecté publicar en el foro (un “descubrimiento” de los míos programando con Python) pero al final me pareció que no iba a servir para nada útil; y por eso no publiqué al final y se me olvidó esto.

Y ahora he pensado que se parece muchísimo a una “amalgama modular” haciendo la comparación dicha (ahí está lo curioso psicológicamente, que cuando se me ocurrió no pensé en nada de compases ni música y, sin embargo, es casi literalmente lo que se puede llamar un módulo de amalgama.
Y, total, a los dos días -o día y medio- veo esos vídeos que me hacen darme cuenta de esto).

Tomamos dos números naturales distintos “a” y “b” con a<b y vamos escribiendo los múltiplos consecutivos de uno y otro de forma que obtengamos una sucesión de valores crecientes. Después, consideramos la sucesión de las diferencias empezando desde la distancia que guarda el primero con el segundo, luego, el segundo con el tercero...
Normalmente, nos apoyamos en los ceros respecto de un cierto módulo “a” haciendo “a, 2a, 3a, 4a...”; pues en este caso hacemos lo mismo, pero amalgamando  dos números; donde, claro, los factores ya no van a ser en todos los casos 1,2,3,4...
[cerrar]


Sea un número natural no primo \( ab \) con \( a<b \) .

Consideremos la sucesión alternada y creciente de los múltiplos de “a” y de “b” consecutivos; por ejemplo, si tomamos \( 15=3\cdot5
  \), sería así

\( 3,5,6,10,12...
  \).

Pero hemos de tomar en concreto sólo \( 2a+1 \) términos, y, por otra parte, han de ser “a,b” impares o uno par y otro impar.
En el caso del ejemplo, como a=3, tendremos siete términos:

\( 3,5,6,10,12,15,18
  \).

Ahora consideremos la sucesión de las diferencias o distancias entre los términos de izquierda a derecha; 5-3; 6-5, etc. Tendremos:

\( D=2,1,4,2,3,3
  \) (aquí había bailado los dos primeros números)

 (para que aparezca el 1 es necesario que sean ambos impares o de distinta paridad).

Observamos que la suma de los términos es precisamente \( ab
  \), en el ejemplo, 15.

Por otra parte más, si se siguen considerando múltiplos más allá de la cantidad \( 2a+1 \), la secuencia de las distancias entre estos números consecutivos se repite periódicamente.

Ahora, la sucesión “D” de las distancias tiene \( 2a \) términos, los cuales podemos separar en dos trozos de “a” términos ordenándolos así

\( D=1,2,3;2,3,4
  \).

de tal forma que si sumamos los términos del primer trozo se corresponde con la progresión aritmética \( \dfrac{a(a+1)}{2}
  \) y la del segundo trozo se corresponde con la suma \( (b-a)+((b-a)+1)+((b-a)+2)...
  \) una cantidad “a” de veces (esto es lo mismo que decir \( a(b-a)
  \) más la progresión aritmética de 1 hasta “a-1”, o sea, \( \dfrac{(a-1)(a-1+1)}{2}=\dfrac{(a-1)a}{2}
  \)).

Ordenados de esta última manera es sencillo demostrar a partir de ahí que, en general, la suma de las distancias da como resultado \( ab \):

\( \dfrac{a(a+1)}{2}+a(b-a)+\dfrac{(a-1)a}{2}=ab
  \)

(y operando se llega fácilmente a la identidad ab=ab; lo que todavía no he demostrado bien del todo es que siempre se pueden ordenar de esta manera, pero se comprueba que funciona haciendo un programa; y no será muy difícil de demostrar, supongo).

Esto se observa para cualesquiera a,b con las condiciones detalladas.

Los únicos números con los que no se podrá llegar a lo dicho (de la manera explicada) es con los productos de la forma \( ab=2^{n}
  \), porque no aparece el 1 de forma natural en las distancias, pero en los casos en que exista algún factor impar, siempre podremos factorizar el producto “ab” como producto de un par por un impar (pues aunque cambiemos los “a,b” originales, el número será el mismo).






03 Febrero, 2020, 11:08 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola feriva!

Me resultó interesante ver que te inspiraste en aprender cómo funcionan los palos flamencos. Ojalá puedas llegar a buen puerto, y sino es una experiencia más, una ferivada :laugh:.

Si me permitís tengo una objeción cuando leí una parte de tu argumento (es matemática, no esperes otra cosa de mí :laugh:):

Ahora consideremos la sucesión de las diferencias o distancias entre los términos de izquierda a derecha; 5-3; 6-5, etc. Tendremos:

\( D=2,1,4,2,3,3
  \) (aquí había bailado los dos primeros números)

 (para que aparezca el 1 es necesario que sean ambos impares o de distinta paridad).

No veo lo del paréntesis. Es decir eso se cumple para unos pocos números pero no en general. Por ejemplo, \( 5-3\neq1 \) y son ambos impares, y \( 15-12\neq1 \) y son de distinta paridad. No sé cómo lo ves.

Saludos y ánimo a continuar investigando

03 Febrero, 2020, 11:25 am
Respuesta #2

feriva

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Hola de nuevo, manooooh.

Hola feriva!

Me resultó interesante ver que te inspiraste en aprender cómo funcionan los palos flamencos. Ojalá puedas llegar a buen puerto, y sino es una experiencia más, una ferivada :laugh:.

Si me permitís tengo una objeción cuando leí una parte de tu argumento (es matemática, no esperes otra cosa de mí :laugh:):

Ahora consideremos la sucesión de las diferencias o distancias entre los términos de izquierda a derecha; 5-3; 6-5, etc. Tendremos:

\( D=2,1,4,2,3,3
  \) (aquí había bailado los dos primeros números)

 (para que aparezca el 1 es necesario que sean ambos impares o de distinta paridad).

No veo lo del paréntesis. Es decir eso se cumple para unos pocos números pero no en general. Por ejemplo, \( 5-3\neq1 \) y son ambos impares, y \( 15-12\neq1 \) y son de distinta paridad. No sé cómo lo ves.

Saludos y ánimo a continuar investigando


Espera, es que con un ejemplo quizá sea poco para ver lo que quiero decir.

Según los números “a,b” que elijas la sucesión de múltiplos y de distancias es diferente.

Por ejemplo, vamos a tomar, que sé yo, a=7, b=23; entonces:

Sucesión de múltiplos alternados empezando desde “a=7” etc.

7, 23, 28, 46, 49, 69, 70, 92, 98, 115, 119, 138, 140, 161, 168

Distancias entre términos consecutivos

16, 5, 18, 3, 20, 1, 22, 6, 17, 4, 19, 2, 21, 7

Ordenando ahora esas distancias según lo otro que decía queda

\( {\color{blue}1,2,3,4,5,6,7},{\color{magenta}16,17,18,19,20,21,22}
   \)

donde marco las dos sucesiones de “a=7” términos que decía.

Míralo a ver si se entiende ahora y me dices.

Muchas gracias, manooooh.

Saludos.

03 Febrero, 2020, 01:07 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Pero hemos de tomar en concreto sólo \( 2a+1 \) términos, y, por otra parte, han de ser “a,b” impares o uno par y otro impar.
En el caso del ejemplo, como a=3, tendremos siete términos:

Tomar \( 2a+1 \) te asegura que el primero va a ser \( a \) y el último \( (b+1)a \).

Citar
\( 3,5,6,10,12,15,18
  \).

Ahora consideremos la sucesión de las diferencias o distancias entre los términos de izquierda a derecha; 5-3; 6-5, etc. Tendremos:

\( D=2,1,4,2,3,3
  \) (aquí había bailado los dos primeros números)

 (para que aparezca el 1 es necesario que sean ambos impares o de distinta paridad).

Observamos que la suma de los términos es precisamente \( ab
  \), en el ejemplo, 15.

Tomar las diferencias consecutivas y luego sumarlarlas es tomar la diferencia entre el primero y el último ya que:

\( (a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+\ldots+(a_n-a_{n-1})=a_n-a_1 \)

Por eso te sale:

Citar
(b+1)a-a=ab

Citar
Por otra parte más, si se siguen considerando múltiplos más allá de la cantidad \( 2a+1 \), la secuencia de las distancias entre estos números consecutivos se repite periódicamente.

Se repite cíclicamente porque a partir del \( ab \) los múltipos se repiten "módulo" \( ab \).

Saludos.

03 Febrero, 2020, 01:43 pm
Respuesta #4

feriva

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Hola

Pero hemos de tomar en concreto sólo \( 2a+1 \) términos, y, por otra parte, han de ser “a,b” impares o uno par y otro impar.
En el caso del ejemplo, como a=3, tendremos siete términos:

Tomar \( 2a+1 \) te asegura que el primero va a ser \( a \) y el último \( (b+1)a \).

Citar
\( 3,5,6,10,12,15,18
  \).

Ahora consideremos la sucesión de las diferencias o distancias entre los términos de izquierda a derecha; 5-3; 6-5, etc. Tendremos:

\( D=2,1,4,2,3,3
  \) (aquí había bailado los dos primeros números)

 (para que aparezca el 1 es necesario que sean ambos impares o de distinta paridad).

Observamos que la suma de los términos es precisamente \( ab
  \), en el ejemplo, 15.

Tomar las diferencias consecutivas y luego sumarlarlas es tomar la diferencia entre el primero y el último ya que:

\( (a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+\ldots+(a_n-a_{n-1})=a_n-a_1 \)

Por eso te sale:

Citar
(b+1)a-a=ab

Citar
Por otra parte más, si se siguen considerando múltiplos más allá de la cantidad \( 2a+1 \), la secuencia de las distancias entre estos números consecutivos se repite periódicamente.

Se repite cíclicamente porque a partir del \( ab \) los múltipos se repiten "módulo" \( ab \).

Saludos.

Hola, Luis. Has transformado mis intuiciones y vaguedades en ideas concretas.

Muchas gracias.

Saludos.


26 Mayo, 2020, 03:06 pm
Respuesta #5

Víctor Luis

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Buenas FERIVA y EL_MANCO...

   Las 'Ferivadas' que se dicen, no son trivialidades, ni utopias vanales, ... Son fuente de creacion o estraccion de esencias de pensamiento matematico, para quien sabe identificar y estraer esos principios filosoficos (por no decir de creencia y/o fe) ... desde donde surge(n) solo partes de un rompe cabezas, que evolucionara y revolucionara el pensamiento matematico de hoy en adelante.

   Es muy dificil, cuasi imposible, ir en contra de mas de 2.000 años de criterios (axiomas) algunos en principio irrefutables y la gran mayoria posteriores, carentes de absoluta verdad, ... solo aparente verdad, por ser 'demostrados matematicamente' en 'base' a los primeros axiomas... Y es que desde uno, se dieron otros mas, que fueron invalidando la verdad matematica o la fueron congelando, sin aportar nada nuevo, en mas de un milenio de años.

   Y es que, hace un par de dias, extrañando la matematica, resurgieron las ideas y di empiricamente con un nuevo metodo de primalidad estructural, para el grupo GP(5) del Conjunto VM, donde valoramos dos puntos estructurales especificos y con estos operamos, obteniendo un resultado final, un valor natural indicativo de primalidad.
   Algo asi que como si el resultado final fuera (1) ó (0) es indicativo de primalidad, caso contrario es Compuesto.
   Hasta el momento no hay fallos, pero solo hago evaluaciones manuales, con papel, lapiz y simple calculadora.


Saludos Cordiales ...