Autor Tema: Dualidad.

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30 Junio, 2019, 10:54 am
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latex

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Hola buenas, tengo una duda acerca de esta afirmación:
El dual de un plano proyectivo papiano y desarguesiano es un plano proyectivo papiano y desarguesiano. Aquí considerando \( \mathbb{P}=(P,l,\in{}) \) en tales condiciones, bastaría con probar que el plano dual se satisface el teorema de desargues, y el teorema de pappus.
Usando el principio de la dualidad en el plano proyectivo que dice, que una afimación es verdadera si y sólo si lo es su dual,
¿podríamos afirmar que es verdadera?

Saludos.

01 Julio, 2019, 11:48 am
Respuesta #1

geómetracat

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No entiendo muy bien la pregunta. Si la pregunta es si se puede demostrar que el dual de un plano desarguesiano (papiano) es desarguesiano (papiano) apelando al principio de dualidad "sin hacer nada" yo diría que no.
El problema es que los teoremas de Desargues y de Pappus no son autoduales (aunque hay algunas formulaciones en las que el de Desargues sí que es autodual, y ahí si que tienes que el dual de un plano desarguesiano es desarguesiano "gratis").
Del principio de dualidad lo único que obtienes es que el plano dual satisface el dual del teorema de Pappus, pero no dice nada sobre si satisface el teorema de Pappus. Así que hay que demostrar algo. De hecho, es equivalente a ver que en todo plano papiano se satisface también el teorema dual de Pappus.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)