Autor Tema: Irracionalidad de phi

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29 Junio, 2019, 15:44
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AlexFeynman

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Buenas a todos.

He intentado demostrar que  [texx]\phi[/texx]  es irracional pero me gustaría saber si es correcta la demostración.

Menciono antes que  [texx]\phi = \displaystyle\frac{1 + \sqrt{5}}{2} > \displaystyle\frac{1 + 2}{2} > 1[/texx]

Empezamos suponiendo que [texx]\phi[/texx] es racional, es decir, [texx]\phi = \displaystyle\frac{a}{b}[/texx], con [texx]a,b \in{\mathbb{Z}}[/texx].

Utilizando la ecuación [texx]{\phi}^2 = \phi -1[/texx]  y asumiendo [texx]\phi = \displaystyle\frac{a}{b}[/texx]  obtenemos

[texx]\displaystyle\frac{a^2}{b^2} = \displaystyle\frac{a}{b} -1[/texx]  o equivalentemente  [texx]a^2 + b^2 = ab[/texx]

Como sabemos que [texx]\phi > 1[/texx]  se desprende que [texx]a > b[/texx], es decir, [texx]a^2 > ab[/texx].

De aquí se sigue que [texx]a^2 + b^2 > ab[/texx], lo cual es una contradicción y por lo tanto [texx]\phi \neq{\displaystyle\frac{a}{b}}[/texx]. Así pues, [texx]\phi[/texx] es irracional pues no existen [texx]a,b \in{\mathbb{Z}}[/texx] que cumplan [texx]a^2 + b^2 = ab[/texx].

Un saludo.

29 Junio, 2019, 17:26
Respuesta #1

geómetracat

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Está mal, porque la fórmula es \[ \phi^2 = \phi +1 \], no \[ \phi^2 = \phi -1 \].

De todas formas, una demostración de irracionalidad de este estilo no puede estar bien, porque en ningún momento usas el hecho de que \[ a,b \] son enteros (y no, por ejemplo, reales arbitrarios). Hay que usar algún argumento de divisibilidad, o algo que sirva para enteros pero no para reales.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \[ d^2=0 \]

29 Junio, 2019, 17:41
Respuesta #2

AlexFeynman

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Ya decía yo que era demasiado sencillo, había aceptado que era [texx]{\phi}^2 = \phi -1[/texx] de memoria... debería haberlo comprobado.
Gracias por darte cuenta.

30 Junio, 2019, 17:05
Respuesta #3

martiniano

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Hola.

Ya decía yo que era demasiado sencillo, había aceptado que era [texx]{\phi}^2 = \phi -1[/texx] de memoria... debería haberlo comprobado.
Gracias por darte cuenta.

Pero es que te has acercado mucho, AlexFeynman. No te rindas   ;)

Spoiler

Bastaba que hubieses incluido que \[ 2>\Phi>1 \], por tanto \[ \Phi \] no es entero, y si fuese racional, entonces \[ \Phi=a/b \] con \[ a, b \] enteros primos entre sí y \[ b\neq{1} \]. Metiendo esto en la ecuación de segundo grado que cumple \[ \Phi \] y manejándola un poco llegarás a una expresión de la forma \[ a^2 =k\cdot{b} \], que contradice la condición en negrita.
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Saludos.

01 Julio, 2019, 13:08
Respuesta #4

AlexFeynman

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Gracias por la ayuda martiniano, la verdad es que después de cambiar el signo había llegado a [texx]a = b + \displaystyle\frac{b^2}{a}[/texx], por lo que basta probar que [texx]\displaystyle\frac{b^2}{a}\not\in{\mathbb{Z}}[/texx], no se me había ocurrido nada y lo deje, pero he visto tu mensaje y me he puesto a buscar en un libro de teoría de números y aparece un teorema que dice:

Si [texx]c|ab[/texx] y [texx](c,b)=1[/texx] entonces [texx]c|a[/texx]

Como [texx]b^2 = ac[/texx] entonces [texx]b|ac[/texx] y al tenerse [texx](b,a)=1[/texx], por el teorema, [texx]b|c[/texx]. Pero [texx]c = a -b[/texx], lo cual implica [texx]k = \displaystyle\frac{a-b}{b} = \phi -1[/texx] y por lo tanto [texx]\phi - 1 \in{\mathbb{Z}}[/texx], lo cual es una contradicción puesto que [texx]1>\phi -1>0[/texx].

Creo que así queda todo demostrado. De nuevo gracias por la ayuda.

01 Julio, 2019, 16:58
Respuesta #5

martiniano

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Sí. Lo veo bien.

Saludos.